本帖最后由 史錦順 于 2017-12-17 14:14 編輯
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統(tǒng)計(jì)測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)偏差不能除以根號(hào)N
——回復(fù)吳下阿蒙（1）
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史錦順
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【吳下阿蒙】
史老提到的問(wèn)題，實(shí)際中是存在的，但我認(rèn)為這不是不確定度體系本身的問(wèn)題，而是使用者缺乏足夠的知識(shí)造成的（比如我之前那樣）。不確定度的評(píng)定真的不是找?guī)妆疽?guī)程看一看，拿一本書(shū)套一套就能評(píng)定的正確的，只能似是而非。
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【史評(píng)】
你的這種認(rèn)識(shí)，是長(zhǎng)期學(xué)校教育的負(fù)作用，就是習(xí)慣于保守不變的模式：已有的理論是“從正確到正確”。如果出問(wèn)題，是沒(méi)用好。通常，這可能是對(duì)的，但有時(shí)卻恰恰相反。要具體分析。我研究誤差理論30年，又分析不確定度體系20年，結(jié)論是：誤差理論有不足，但基本正確；而不確定度體系錯(cuò)了。
對(duì)不確定度體系，我的評(píng)價(jià)是：立基于不可知論，哲學(xué)觀錯(cuò)；定義跳槽、分類(lèi)穿幫、對(duì)象與手段混淆，邏輯錯(cuò)；估計(jì)代替計(jì)算、假設(shè)代替分析，方法錯(cuò)；混淆兩類(lèi)測(cè)量、混淆兩種誤差，測(cè)量模式錯(cuò)；混淆兩種統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)方式錯(cuò)。由此導(dǎo)致計(jì)量、測(cè)量的各種處理方法全錯(cuò)。不確定度體系的一切，沒(méi)有任何可取之處。不確定度體系是擾亂正常計(jì)量秩序、害人誤事的偽科學(xué)。
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原蘇聯(lián)的教育理論說(shuō)，只能向?qū)W生講正確的觀點(diǎn)。但這不符合歷史發(fā)展、理論發(fā)展的客觀事實(shí)。事物發(fā)展的一條重要規(guī)律是“否定之否定”。
你進(jìn)入測(cè)量計(jì)量界不久，還不了解關(guān)于“不確定度體系”的學(xué)術(shù)爭(zhēng)論情況。不確定度體系在實(shí)際應(yīng)用中的混亂與錯(cuò)誤，原因是不確定度體系本身。我建議你抽空瀏覽一下我在本欄目貼出的抨擊不確定度體系的雜文。為閱讀方便，你把郵箱告訴我，我寄給你已編好的八本文集。
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（一）統(tǒng)計(jì)測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)偏差不能除以根號(hào)N
【吳下阿蒙論述】
1. 除不除以根號(hào)n，取決于我們需要的測(cè)量結(jié)果是單值還是均值。
【史評(píng)】
你的這個(gè)觀點(diǎn)，有普遍性。許多人都有這種觀點(diǎn)或類(lèi)似的觀點(diǎn)。
我這里明確指出：在統(tǒng)計(jì)測(cè)量中，必須取平均值來(lái)表征統(tǒng)計(jì)變量的量值大小；而在取平均值的情況下又必須取單值的σ來(lái)表征統(tǒng)計(jì)變量的分散性。
這個(gè)分散性，又稱(chēng)重復(fù)性（同一測(cè)量條件），復(fù)現(xiàn)性（不同測(cè)量條件），波動(dòng)性或穩(wěn)定度（電源之電壓、溫度源之溫度），頻率穩(wěn)定度（特指頻率的短期隨機(jī)變化，有采樣時(shí)間、采樣次數(shù)、計(jì)算方法的嚴(yán)格定義，本質(zhì)是單值的σ）。
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當(dāng)前，包括一些書(shū)籍，有一個(gè)普遍的說(shuō)法：量值取單值，則用單值的σ；量值取平均值，則用平均值的σ平。這個(gè)說(shuō)法是錯(cuò)誤的。說(shuō)明如下。
1 高斯正態(tài)分布的理論
1.1 有偏正態(tài)分布
高斯有偏正態(tài)分布的幾率密度函數(shù)為
p(Y) = {1/ [σ√(2π)]} exp [– (Y-μ)2 / (2σ2)] （1）
Y是變量，μ是變量Y的期望值。示意圖如圖1.圖中以Y平代替μ。B是隨機(jī)變量的標(biāo)稱(chēng)值。β表示系統(tǒng)偏差。R表示總偏差范圍。
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圖1 隨機(jī)變量有偏正態(tài)分布圖.jpg (153.98 KB, 下載次數(shù): 679)
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2017-12-17 13:10 上傳
1.2 無(wú)偏正態(tài)分布
令ξ = Y-μ，則
Eξ =E(Y-μ)=EY – μ=0
ξ是期望值為0的純隨機(jī)變量。
高斯無(wú)偏正態(tài)分布的幾率密度函數(shù)為
p(ξ) = {1/ [σ√(2π)]} exp [– ξ2 / (2σ2)] （2）
隨機(jī)變量ξ的分布是無(wú)偏正態(tài)分布。如圖2。
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圖2 隨機(jī)變量無(wú)偏正態(tài)分布圖.jpg (139.91 KB, 下載次數(shù): 712)
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2017-12-17 13:14 上傳
1.3 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布圖
再令σ=1，并令x=ξ，則稱(chēng)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)為
p(x) = [1/√(2π)] exp [– x2 / 2] （3）
正態(tài)分布的“概率函數(shù)”為
φ(x)= [1/√(2π)] ∫ (-∞→x) exp [– t2 / 2] （4）
標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布圖與圖2相同，只是把σ記為1即可。
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2 取平均值時(shí)，偏差區(qū)間的包含概率的計(jì)算
《數(shù)學(xué)手冊(cè)》（1980版）給出的是公式（3）與公式（4）的數(shù)值表。包含概率的計(jì)算方法如下。
求-kσ到+kσ的包含概率
從-∞到k的概率是φ(k)，從k到+∞的包含概率是1-φ(k)。由于分布密度函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，從-∞到-k的包含概率與k到+∞的概率相等，為1-φ(k)。因此有：
p(-k→+k)=φ(k)-[1-φ(k)] =2φ(k)-1 （5）
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2.1 區(qū)間[-σ，σ]
查表φ(1)=0.841345
包含概率為
pσ = 2φ(1)-1=0.841345×2-1=1.68269-1
= 0.683
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2.2 區(qū)間[-2σ，2σ]
查表φ(2)=0.977250
包含概率為
p2σ= 2φ(2)-1=0.977250×2-1=1.9545-1
= 0.9545
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2.3 區(qū)間[-3σ，3σ]
查表φ(3)=0.998650
包含概率為
p3σ= 2φ(3)-1=0.998650×2-1=1.9973-1
= 0.9973
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3 不取平均值而取其他單值時(shí)，區(qū)間包含概率的計(jì)算
公式推導(dǎo) 設(shè)單值為Y平+ nσ , 區(qū)間半寬為kσ, 則區(qū)間為[(n-k) σ，(n+k)σ],有
K1=n-k
K2=n+k
當(dāng)K為負(fù)值時(shí)，由于概率密度函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，從-∞到K(負(fù)值)的包含概率與-K到+∞的概率相等，都為1-φ(-K)。當(dāng)K為正值時(shí)，從-∞到K(正值)的包含概率就是φ(K)。
從-∞到K2的包含概率減去從-∞到K1的包含概率，就是所求的區(qū)間[(n-k) σ，(n+k)σ]的包含概率。
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3.1 計(jì)算公式
3.1.1 (n-k)＜0，(n+k)＞0
P =φ(n+k) – [1-φ(k-n)] （6）
3.1.2 (n-k) ≥0
P=φ(n+k) -φ(n-k) （7）
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3.2 計(jì)算舉例
例1 取Y=Y平+2σ，求半寬為3σ的區(qū)間的包含概率
k=3，n=2 按公式（6）計(jì)算
P =φ(n+k) – [1-φ(k-n)]
=φ(5)-[1-φ(1)]
≈φ(1)=0.841345
≈0.84
例2 取Y=Y平+2σ，求半寬為2σ的區(qū)間的包含概率
k=2，n=2 按公式（7）計(jì)算
P=φ(n+k) -φ(n-k)
=φ(4)- φ(0)
≈1-0.50
≈0.5
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例3 取Y=Y平+3σ，求半寬為3σ的區(qū)間的包含概率
k=3，n=3 按公式（6）或（7）計(jì)算
P=φ(n+k) – [1-φ(k-n)]
=φ(6) – [1-φ(0)]
=φ(0)
= 0.5
例4 取Y=Y平+3σ，求半寬為2σ的區(qū)間的包含概率
k=2，n=3 按公式（7）計(jì)算
P=φ(n+k) -φ(n-k)
=φ(5) –φ(1)
=1-0.841345
= 0.16
說(shuō)明：以上φ(6)、φ(5) 、φ(4)都近似為1.
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請(qǐng)注意你，如果不取平均值，而是取其他單值，那么區(qū)間的包含概率就可能很小。上例中，有50%，甚至有16%，多么嚴(yán)重！
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總結(jié)
統(tǒng)計(jì)變量的分散性，是統(tǒng)計(jì)變量本身的特性，必須如實(shí)地描述、表達(dá)，不能人為地縮小。單值的標(biāo)準(zhǔn)偏差σ，隨著測(cè)量次數(shù)增大而趨于一個(gè)常數(shù)，它是隨機(jī)變量分散性的表征量。平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差σ平，隨著測(cè)量次數(shù)增大而縮小，并趨于零。σ平不是隨機(jī)變量的表征量。因此，表征隨機(jī)變量的分散性，必須用σ。
以上觀點(diǎn)，我多次表達(dá)過(guò)。這次進(jìn)一步證明：用σ表達(dá)分散性，而取值必須取變量的平均值，才有通常人們熟知的“以2σ為半寬的區(qū)間的包含概率是95%”、“以3σ為半寬的區(qū)間的包含概率是99%”。如果不取平均值而取其他單值，則包含區(qū)間的概率就會(huì)大大降低，如例1到例4。
結(jié)論：
1 統(tǒng)計(jì)測(cè)量，σ不能除以根號(hào)N。不論測(cè)量多少次。
2 量值必須取平均值。
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補(bǔ)充內(nèi)容 (2017-12-17 16:13):
公式（4）的積分號(hào)內(nèi)最后加dt |
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