本帖最后由 史錦順 于 2017-12-31 10:00 編輯
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偏差區間的包含概率的計算
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史錦順
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1 兩類測量的兩種方差
1.1 兩類測量
對常量的測量稱為基礎測量。經典誤差理論的應用范圍是基礎測量。基礎測量的條件是被測量的變化范圍遠小于測量儀器的誤差范圍。被測量有慢變化，但在測量時段內，變化可略，也是基礎測量。
在基礎測量中，隨機變化的誤差，稱隨機誤差；在測量的時段內為恒值的誤差，稱為系統誤差。測量者進行重復測量，即可認知隨機誤差；但因測量場合沒有計量標準，無法確定系統誤差。在計量場合，有計量標準，不僅可以測知隨機誤差范圍，也可以測知系統誤差。隨機誤差范圍與系統誤差范圍，在有計量標準的條件下，都可以通過測量來確定。
測量儀器的長期穩定度、環境條件等的影響量，體現在儀器機理設計中，并經過實踐考驗證實，儀器方能定型生產。生產廠在給出儀器性能指標時，是包含這部分內容的。就是說，儀器的性能指標，是指工作性能指標，包括使用條件（如溫度范圍等）、指標保證時段（通常為一年。也可給出三個月、半年、一年、三年的時段限制）。
計量只管當時的隨機誤差與系統誤差，不涉及長穩與環境溫度。如果在長穩與環境溫度方面出問題（非人工破壞或保管、使用不當），責任由生產廠負責。
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1.2 兩種方差
在基礎測量中，儀器示值的隨機變化，是儀器自身的性能（外界影響也是通過儀器而體現出來的），與被測量無關，是儀器的隨機誤差。
測量值的方差的平方根是儀器的隨機誤差。多次測量，取平均值，可以減小隨機誤差。測量的隨機誤差范圍是3σ平。
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在統計測量中，儀器的誤差可略，儀器示值的隨機變化，是被測量的隨機變化引起的。
測量值的方差的平方根是被測統計變量的隨機偏差。多次測量，取平均值。平均值是隨機變量的最佳代表值。各個測量值都是被測統計變量的真值（儀器誤差可略），測量結果是平均值加減偏差范圍。以平均值為中心的、以偏差范圍（3σ）為半寬的區間，對被測統計變量的包含概率是99.7%.
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2 高斯正態分布的理論
2.1 有偏正態分布
高斯有偏正態分布的幾率密度函數為
p(Y) = {1/ [σ√(2π)]} exp [– (Y-μ)2 / (2σ2)] （1）
2.2 無偏正態分布
令ξ = Y-μ，則
Eξ =E(Y-μ)=EY – μ=0
ξ是期望值為0的純隨機變量。
高斯無偏正態分布的幾率密度函數為
p(ξ) = {1/ [σ√(2π)]} exp [– ξ2 / (2σ2)] （2）
2.3 標準正態分布
再令σ=1，并令x=ξ，則稱標準正態分布。標準正態分布的概率密度函數為
p(x) = [1/√(2π)] exp [– x2 / 2] （3）
正態分布的“概率函數”為
φ(x)= [1/√(2π)]∫(-∞→x) [exp (– t2 / 2)] dt （4）
《數學手冊》（1980版）給出的是公式（3）與公式（4）的數值表。本文據此計算。
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3 正常情況下，統計變量偏差區間包含概率的計算
定義1 偏差
統計變量的量值與期望值之差。
定義2 偏差范圍
偏差范圍是偏差絕對值的一定概率意義上的最大可能值。
定義3 統計變量的量值區間
[M平-3σ，M平，M平+ 3σ]
用平均值代表被測的統計變量，是正確的，就是正常情況。所謂包含概率，就是以平均值為中心的、以偏差范圍為半寬的區間，包含各個統計變量的概率。
3.1 包含概率的規律
1）規律1 由概率函數定義，從-∞到k的概率是φ(k)，
p(-∞→+k) =φ(k) （5）
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2）規律2 從-∞到k的概率是φ(k)，從k到+∞的包含概率是1-φ(k)。由于分布密度函數的對稱性，從-∞到-k的包含概率與k到+∞的概率相等，都是1-φ(k)。有
從-∞到-k的包含概率為
p(-∞→-k) = 1-φ(k)
φ(-k) = 1-φ(k) （6）
3）規律3 以平均值為中心的對稱區間的包含概率
p(-k→+k) = p(-∞→+k) – p(-∞→-k )
=φ(k) -φ(-k)
=φ(k) – [1-φ(k)]
=2φ(k)-1 （7）
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3.2 包含概率的計算
3.2.1 區間 [M平-σ，M平，M平+σ] ，簡記為[-σ，+σ]
查表φ(1)=0.841345
k=1，代入公式（7），包含概率為
pσ = 2φ(1)-1=0.841345×2-1=1.68269-1
= 0.683 （8）
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3.2.2 區間 [M平-2σ，M平，M平+2σ] ，簡記為[-2σ，+2σ]
查表φ(2)=0.977250，
k=2，代入公式（7），包含概率為
p2σ= 2φ(2)-1=0.977250×2-1=1.9545-1
= 0.9545 （9）
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3.2.3 區間 [M平-3σ，M平，M平+3σ] ，簡記為[-3σ，+3σ]
查表φ(3)=0.998650
k=3，代入公式（7），包含概率為
p3σ= 2φ(3)-1=0.998650×2-1=1.9973-1
= 0.9973 （10）
以上（8）（9）（10）是以平均值為中心的正常情況，是測量計量工作者熟知的幾個重要數據。誤差理論主張取3σ為區間半寬，包含概率是99.73%；不確定度體系通常（默認）取2σ為區間半寬，包含概率是95.45%.
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4 非正常情況，即不取平均值而取其他單值時，區間包含概率的計算
公式推導 設單值為Y平+ nσ , 區間半寬為kσ, 則區間為[(n-k) σ，(n+k)σ],有
K1=n-k
K2=n+k
當K為負值時，由于概率密度函數的對稱性，從-∞到K(負值)的包含概率與-K到+∞的概率相等，都為1-φ(-K)。當K為正值時，從-∞到K(正值)的包含概率就是φ(K)。
從-∞到K2的包含概率減去從-∞到K1的包含概率，就是所求的區間[(n-k) σ，(n+k)σ]的包含概率。
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4.1 計算公式
4.1.1 (n-k)＜0，(n+k)＞0
P =φ(n+k) – [1-φ(k-n)] （11）
4.1.2 (n-k) ≥0
P=φ(n+k) -φ(n-k) （12）
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3.2 計算舉例
例1 取Y=Y平+2σ，求半寬為3σ的區間的包含概率
k=3，n=2 按公式（11）計算
P =φ(n+k) – [1-φ(k-n)]
=φ(5)-[1-φ(1)]
≈φ(1)=0.841345
≈0.84
例2 取Y=Y平+2σ，求半寬為2σ的區間的包含概率
k=2，n=2 按公式（12）計算
P=φ(n+k) -φ(n-k)
=φ(4)- φ(0)
≈1-0.50
≈0.5
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例3 取Y=Y平+3σ，求半寬為3σ的區間的包含概率
k=3，n=3 按公式（6）或（7）計算
P=φ(n+k) – [1-φ(k-n)]
=φ(6) – [1-φ(0)]
=φ(0)
= 0.5
例4 取Y=Y平+3σ，求半寬為2σ的區間的包含概率
k=2，n=3 按公式（7）計算
P=φ(n+k) -φ(n-k)
=φ(5) –φ(1)
=1-0.841345
= 0.16
說明：以上φ(6)、φ(5) 、φ(4)都近似為1.
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總結
統計變量的分散性，是統計變量本身的特性，必須如實地描述、表達，不能人為地縮小。單值的標準偏差σ，隨著測量次數增大而趨于一個常數，它是隨機變量分散性的表征量。平均值的標準偏差σ平，隨著測量次數增大而縮小，并趨于零。σ平不是隨機變量的表征量。因此，表征隨機變量的分散性，必須用σ。
用σ表達分散性，而取值必須取變量的平均值，才有通常人們熟知的“以2σ為半寬的區間的包含概率是95.45%”、“以3σ為半寬的區間的包含概率是99.73%”。如果不取平均值而取其他單值，則包含區間的概率就會大大降低，如例1到例4。就是說：
1 統計測量，σ不能除以根號N。不論測量多少次。
2 量值必須取平均值。
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附錄 統計測量，如果取σ平，即σ除以根號N，會是什么結果
（1）由于σ平=σ/√N，設N=25，則σ平=σ/5。此時以3σ平為半寬的區間為
[M平-3σ平，M平，M平+3σ平] （13）
因σ平=σ/5，代入（13）
[M平-0.6σ，M平，M平+0.6σ] （14）
根據公式（7）
p(-k→+k) = 2φ(k)-1
k=0.6 查表 φ(0.6)=0.725747
p(-0.6→+0.6) = 2φ(0.6)-1
= 2×0.725747 -1
=0.4515 （15）
（2）條件同上，此時以2σ平為半寬的區間為
[M平-2σ平，M平，M平+2σ平] （16）
因σ平=σ/5，代入（16）
[M平-0.4σ，M平，M平+0.4σ] （17）
根據公式（7）
p(-k→+k) = 2φ(k)-1
k=0.4 查表 φ(0.4)= 0.655422
p(-0.6→+0.6) = 2φ(0.4)-1
= 2×0.655422 -1
=0.3108 （18）
由以上計算可知，如果取σ平，以3σ平為半寬的區間，對隨機變量的包含概率是45.15%；以2σ平為半寬的區間，對隨機變量的包含概率是31.08%. 包含概率太低了！
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思考題
在基礎測量（常量測量）中，要取σ平，怎樣說明“包含區間”與“包含概率”的問題呢？
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