論不確定度理論與誤差理論的關(guān)系

回復 430# 史錦順

請教一下史老兩個問題：

1、在實際工作中，總體均值無法確切地知道，只能用其樣本均值代替，那么在評估時樣本標準偏差與總體標準偏差是有差別的，這種差別如何來評估？

2、用樣本均值代替總體均值時，樣本均值與總體均值的差別如何評估？

謝謝！

回復 457# 何必


      我有時談些概念、理論，但都是接近實際的。對實際工作中沒多大影響的事，我一般不考慮。你提的問題，我一方面覺得那是理論家的事，對實際工作無關(guān)緊要，另一方面我也確實不懂，沒有看法。因此，我就不勉強答復了。以前我似乎看過標準方差與方差的期望值的計算公式，因為沒看懂，也就忘記了。我認為實用的知識就是取樣次數(shù)N要足夠大。如測量頻率值，要測量20次；而測量頻率穩(wěn)定度，必須測量100次，阿侖方差要求如此，想偷懶都不行。記得有一次我談到阿侖方差誕生的背景時，說方差的期望值不存在，稱為發(fā)散困難。國家計量院的專家崔偉群先生，竟說我文字不通，說期望是期望，方差是方差，怎能把二者混在一起。可見，崔先生也只知道隨機變量的期望值，而沒聽說過標準方差的數(shù)學期望值這個“方差的期望”。可見，你的問題太專，我回答不了。

回復 456# njlyx

　　既然lyx老師認為沒有必要理睬國家標準/規(guī)范給定的術(shù)語定義真諦，沒有必要“摳”國家給出定義的“字眼”，可以憑所謂自己認為的“實用”任意解讀術(shù)語定義，那我們就不確定度和誤差及誤差范圍術(shù)語定義的討論就此終止吧，我們可以各自保留各自的觀點。順便再說一次，把不確定度與誤差范圍兩個術(shù)語搗成一盆漿糊的人不是我，是另有其人，我的觀點是它們涇渭分明，任何試圖背離定義真諦而另行解讀后，再將其搗成一盆漿糊的做法和想法都是錯誤的。

回復 457# 何必


   

你的問題，換一下術(shù)語，我就可以回答些。

我看過的統(tǒng)計學書不多；只是在誤差理論的書籍中轉(zhuǎn)，不熟悉統(tǒng)計學的術(shù)語。

我理解，橫向的“總體”可以變成縱向的“無限”，而橫向的N個采樣，可以變成縱向的N次采樣。縱向的思維，更適用于測量計量。

能不能這樣說：總體均值就是平均值的期望值。樣本均值就是測得值的平均值。樣本標準差就是按貝塞爾公式算出的標準偏差，就是單值的σ。而總體的標準偏差就是單值的σ的期望值。如術(shù)語代換成立，則有：

1 標準偏差的標準偏差（σ的σ）是：

N是測量次數(shù)（樣本數(shù)）。例如N=9，標準差的標準差是1/4；N=51.則標準差的標準差是1/10。

此公式引自馮師顏編《誤差理論與實驗數(shù)據(jù)處理》（1964年，科學出版社）。馮氏給出的公式來歷為：

         Rossini and Deming,J.,Wash.Acad.Sci.29(1939),416.

此文獻很早（我沒查過，也不會推導），大而老的圖書館，如北京圖書館、北大圖書館，肯定有。

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2 如果說：樣本均值就是測得值的平均值；總體均值就是平均值的期望值。于是，題目就變成平均值的σ是多少。

按貝塞爾公式算得的是單值的σ。平均值的σ記為σ(平)，則σ(平)等于σ除以根號N.

σ是均方根值，測量計量中的單值的偏差范圍是3σ；而平均值的偏差范圍是3σ(平)。偏差是統(tǒng)計測量（快變量測量）的稱呼。經(jīng)典測量是常量測量，講究的是測得值對真值的偏離，要稱作誤差。

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回復 454# 規(guī)矩灣錦苑

1、我從來沒有說過“不確定度”可以代替“誤差范圍”，我一直認為這兩個是非同種量，無法比較。

2、“不確定度”與“誤差范圍”定義不同，考慮的因素與數(shù)據(jù)處理的方法也不盡相同，完全可以各盡所需，共存于世。對于要求不高的場合，完全沒必要強推“不確定度”。

3、我個人認為“不確定度”如果不與對象關(guān)聯(lián)(也就是您所認為所謂的定語)，同樣也無法確定它是什么的“不確定度”。它只是一個純寬度指標，表達的是可靠度信息。所以我們只能將“不確定度”與“誤差范圍”中的純寬度信息進行分析比較。我只能說它們在表達可靠度信息方面，功能相當，并沒有說“取代”或“代替”的意思。因為純寬度指標就是可靠程度的定量表征，純偏移性指標(位置信息)可以通過修正的手段加以彌補。不同的方法或不同的測量器具，對同一被測量進行測量，各自所得到的測量結(jié)果可能不一致，具體體現(xiàn)在測量結(jié)果的偏移性和離散性兩個方面。通過各自誤差的修正，將偏移性信息消除后的測量結(jié)果的準確度應(yīng)該是一致的，所剩下的就只有各自的離散性指標了。通過這樣處理，就可以很容易的得到測量結(jié)果可靠程度的定量表征值了。這個值可以是“不確定度”，也可以是“范圍”(純寬度)，所以我說它們在表達可靠程度的功能方面是相當?shù)摹Ｅe例來說，“量值不確定度”的報告形式有X±U，“量值誤差范圍”的表達形式是X±Δ，我個人認為兩者的紅字部分(不含符號)在表達可靠度信息的功能方面是相當?shù)摹?/font>

回復 460# 史錦順


    樣本均值的數(shù)學期望等于總體均值，即樣本均值是總體均值的一致無偏估計，樣本的方差(S平方)的數(shù)學期望等于總體方差，但是樣本標準偏差的數(shù)學期望并不等于總體標準偏差！即樣本標準偏差只是總體標準偏差的點估計量，但不是一致無偏估計。

回復 461# 路云

　　路兄所說的前兩點我們觀點一致，第３點基本相同。雖然路兄沒有說不確定度與誤差范圍相互“取代”或“代替”的意思，但“取代”或“代替”的意思的確是部分量友的觀點，我只是指出這種觀點違背了不確定度的定義，是錯誤的，是在將不確定度與誤差范圍概念混淆，搗成一鍋漿糊。
　　我和路兄在第3點的分歧僅在于您認為：“量值不確定度”的報告形式有X±U，“量值誤差范圍”的表達形式是X±Δ，U和Δ在表達可靠度信息的功能方面是相當?shù)模艺J為一點都不相當。
　　我認為，雖然U和Δ都是半寬，但U是被測量真值可能存在區(qū)間的半寬，Δ是測量結(jié)果存在區(qū)間的半寬；U用來評判測量結(jié)果的可信性，Δ用來評判測量結(jié)果的準確性；表達形式X±Δ成立，表示測量結(jié)果在X－Δ至X＋Δ區(qū)間內(nèi)，表達形式X±U不成立，不存在X－U至X＋U這個區(qū)間，只存在U這個半寬，因此，其后必須緊跟k＝2。

回復 459# 規(guī)矩灣錦苑


     早就無意與您糾纏，只是見你不厭其煩的攪合，想把現(xiàn)有“定義”的一點“真諦”攪黃、誤導青年后生，有些著急了，也是瞎操心！... 應(yīng)該向都成先生學習，隨您任意攪，只要您沒有官方授權(quán)，在下就不必回應(yīng)了。

    只勸愿意用“測量不確定度”的計測后生，有疑問應(yīng)該設(shè)法請教李慎安、葉德培等真行家，不要誤信某些人的‘上帝解讀’，以免挨罵（如此不知所以的胡解，遭測量結(jié)果使用者的奚落是必然之事！）。

     史先生雖然強力鞭撻現(xiàn)行“測量不確定度”，但質(zhì)疑都在點上，對“測量不確定度”應(yīng)用的健康發(fā)展或是良藥。 而某些口頭上擁護“測量不確定度”應(yīng)用【也許是真心擁護？】人士的神仙解讀，則實在是自殺的毒藥。

回復 464# njlyx

　　正如您所說任何人都沒有經(jīng)官方授權(quán)，各自表述各自的技術(shù)觀點才是最重要的，也許某些錯誤觀點客觀上有攪合和誤導的效果，誰在篡改國家規(guī)定的定義，誰在攪合，誰在誤導，雖然自有其人，但我認為沒有必要在技術(shù)論壇爭論。有沒有必要回帖也是個人的權(quán)利，回帖與不回帖都是個人的自由，沒有人可強制得了。還是那句話，在論壇回帖完全允許知無不言言無不盡的，回帖就不要怕被人罵，但不怕罵并不是說論壇就允許有人隨意謾罵，每個人回帖都應(yīng)該是友善的，誠心誠意的。
　　我自始至終都認為，史錦順老師強力鞭撻現(xiàn)行“測量不確定度”，其質(zhì)疑都集中在有人背離國家給不確定度的定義，錯誤地將不確定度與誤差和誤差范圍相混淆甚至畫等號這點上。如果像某些口頭上擁護測量不確定度應(yīng)用的人士，也作出將不確定度與誤差和誤差范圍概念進行混淆甚至畫等號那樣的“神仙解讀”，史老師對不確定度的一切推論和批評就都是正確的。因此，史老師的批評對那些不顧國家定義真諦而隨意進行神仙般解讀的人士來說擊中了本質(zhì)和要害，一針見血地揭露了這種概念混淆的神仙解讀自身矛盾重重，應(yīng)該是敲響了警鐘，對“測量不確定度”的應(yīng)用及健康發(fā)展的確就是一劑良藥。

回復 465# 規(guī)矩灣錦苑


   說了半天，您到底”正確“解讀出來沒有啊？

規(guī)版是非常在意“定義”到底是怎么寫的！他愛摳字眼也很正常。
世界上總有愛摳字眼與不愛摳字眼的兩種人。

如果大家都認為沒有必要摳字眼，就不必同規(guī)版爭論下了，除非你也認為有必要摳字眼。

科學定義本來就應(yīng)該嚴謹，現(xiàn)行的不確定度定義很垃圾！

誤差就是“這個值實際是多少”，不確定度就是：“這個實際值得可信度是多少”。具體是這么定義的，就不要去太糾結(jié)啦！打開計量論壇，以為有什么新的內(nèi)容，發(fā)現(xiàn)還是在爭論這個，失望！這個話題拖的時間太長，該結(jié)束啦！

　　國家規(guī)定了定義本來就應(yīng)該字字認真解讀的。誤差就是“這個值實際是多少”或偏離其真值多少，不確定度就是“這個實際值的可信度是多少”。說得簡單而非常到位！補充一個誤差范圍，誤差范圍就是這個值偏離其真值的量介于多大的區(qū)間內(nèi)。術(shù)語的相互混淆本來就是科技領(lǐng)域之大忌，大家該說的都說了，這個話題就此結(jié)束吧。

回復 468# kongshuqin

       網(wǎng)上討論，觀點各異，這才能開闊眼界，取長補短。習慣于一言堂，不利于學術(shù)發(fā)展。
       你自己認為正確的“可信度”，實際是幾個美國人反對誤差理論的一個“托詞”，本來就是準確度，偏要說是“可信度”；先生，你自己就受騙上當了。美國人已經(jīng)繞回來了，你乃在老地方，落后潮流了。
       你想看難的，看看老史下邊的幾張照片。只要你認真，就不白看。如果你能說出哪兒錯了，那就學有所成了。

回復 462# 何必


     以下內(nèi)容，摘抄自拙作《新概念測量學》（2004年，電子版，本欄目中有），僅供參考。圖片有些模糊，點擊放大一下就清楚了。
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回復 471# 史錦順


    史老，謝謝您的解答，這證明的結(jié)論正如我在462樓所說的。雖然樣本方差(S平方)是總體方差(酉格瑪平方)的一致無偏計，但樣本標準偏差(S)并不是總體標準偏差(西格瑪)的一致無偏估計，所以您在上面對我回復所說的假設(shè)并不成立！

回復 463# 規(guī)矩灣錦苑

規(guī)版至始至終都在攪局，居然把我說的意思都能篡改。關(guān)于第3點，請看清楚我的原話，我說的是“可靠度”，而不是“可信度”。“可信度”是可信的程度，那是“置信概率”，而不是“不確定度”。

“U是被測量真值可能存在區(qū)間的半寬，Δ是測量結(jié)果存在區(qū)間的半寬；U用來評判測量結(jié)果的可信性，Δ用來評判測量結(jié)果的準確性；”按說您從事計量也有幾十年了，不至于糊涂到如此地步吧！首先，我在帖中特地用括號注明了這個“范圍”是指純寬度，不帶有任何位置信息；其次，用紅字標示了功能地位相當?shù)膬刹糠郑坏谌氐赜美ㄌ栕⒚髁思t字部分不帶符號。您還是要將誤差信息給我攪和進來，不知何意。“量值不確定度”的報告形式“X±U”和“量值誤差范圍”的表達形式是“X±Δ”，其中的X 我已經(jīng)說得很清楚了，都是通過各自誤差的修正，將偏移性信息消除后的測量結(jié)果，準確度完全一致。此時的真值Y 可能存在的區(qū)間，就是測量結(jié)果X 存在的區(qū)間，X 就是Y 的最佳估計值。對于“范圍Δ”來說，測量結(jié)果以一定的概率分布在X±Δ區(qū)間之內(nèi)；對于“不確定度”來說，則是表征真值Y 不能確定的區(qū)間范圍為2U，也就是說真值Y 以95%的概率落在X±U 區(qū)間范圍內(nèi)。至于“k＝2”是否必須緊跟，請看JJF 1059.1－2012是如何說的：“在通常的測量中，一般取k＝2。當取其他值時，應(yīng)說明其來源。當給出擴展不確定度U 時，一般應(yīng)注明所取的k值；若未注明k值，則指k＝2。”

回復 473# 路云

　　可疑度、可信性、可靠性其實就是同一個特性，都是指對測量結(jié)果的懷疑程度，不確定度正是量化評判這個特性的參數(shù)。
　　測量結(jié)果是多個的，變動的，以一定的概率分布在X±Δ區(qū)間之內(nèi)。而被測量真值是唯一的，不變的，“不確定度”就是表征真值Y不能確定的區(qū)間范圍“寬度”為2U，但并不是說真值Y以95%的概率落在X±U“范圍”內(nèi)。不確定度的定義只是個寬度，絲毫不涉及范圍，我們不能有試圖將不確定度與區(qū)間或范圍相聯(lián)系的想法。
　　JJF1059.1－2012說：“在通常的測量中，一般取k＝2。當取其他值時，應(yīng)說明其來源。當給出擴展不確定度U時，一般應(yīng)注明所取的k值；若未注明k值，則指k＝2。”這是告誡人們當評估U時應(yīng)按顧客或標準要求取k的大小，沒有特殊要求時可一律取k=2。但，這決不是說給出U的報告時可以不寫k=2。5.2.2條說“對U應(yīng)給出k值”，說的再明白不過了，5.2.2.1給出的四個示例也無一忘記k=2，這都說明單獨寫X±U毫無意義。只有后面緊跟k=2，才知道X是測量結(jié)果，U是X的擴展不確定度。后面沒有k=2，僅僅X±U，就會使人聯(lián)想到U就是誤差Δ，把X±U視為X±Δ，使人錯誤地將不確定度U和誤差Δ混淆不清，甚至畫等號。

回復 474# 規(guī)矩灣錦苑
    不從幫助他人理解的目的出發(fā)，死摳字眼，施展繞功與揉功，用概念混淆的手法去解決概念混淆的思維。本主題已討論到近五百樓，不少量友都覺得在此問題上與您不可理喻，思維被您越梳理越亂。“準確度”、“可靠度”、“可信度”分明表示不同的物理意義，所對應(yīng)的分別是“誤差”、“不確定度”和“置信概率”，到了您嘴里后兩者卻變成了同樣的東西，并又冒出了一個“可疑度”，帶著大家在不停的繞。

測量結(jié)果是多個的，變動的，以一定的概率分布在X±Δ區(qū)間之內(nèi)。而被測量真值是唯一的，不變的，“不確定度”就是表征真值Y不能確定的區(qū)間范圍“寬度”為2U，但并不是說真值Y以95%的概率落在X±U“范圍”內(nèi)。不確定度的定義只是個寬度，絲毫不涉及范圍，我們不能有試圖將不確定度與區(qū)間或范圍相聯(lián)系的想法。規(guī)矩灣錦苑 發(fā)表于 2014-7-17 04:25

    “寬度”與純寬度的“范圍”分明是一個意思，都表示區(qū)間的大小，您卻偏要將“誤差”的概念給扯進來，將兩者變成非同種量說事。您這哪里是在幫助大家理解啊，簡直就是在攪局、添亂。我在帖中特意將這兩部分以紅字標識，并再三強調(diào)不要將“誤差”、位置、正負號等信息給扯進來，咱們就U 和Δ這兩部分單獨拎出了進行分析比較，絲毫沒有“誤差”與“位置”的信息，與“準確度”根本就不搭界，純粹是一個“可靠度”信息。您卻一方面欲讓大家理清概念，另一方面卻又竭力用概念混淆的手法來加以解釋。對此我早有預(yù)感。本不想?yún)⑴c，但對您的凌亂、混淆概念的解析方式實在是看不下去了，故才在240樓發(fā)帖表達個人觀點。到現(xiàn)在仍然沒有人能夠撼動您那頑固的思維方式。還是用我在240樓的話下個定論吧：“即便是辯到一萬樓，估計也是無果的結(jié)局。”

回復 474# 規(guī)矩灣錦苑


       路云先生說：'對于“不確定度”來說，則是表征真值Y 不能確定的區(qū)間范圍為2U，也就是說真值Y 以95%的概率落在X±U 區(qū)間范圍內(nèi)。至于“k＝2”是否必須緊跟，請看JJF 1059.1－2012是如何說的：“在通常的測量中，一般取k＝2。當取其他值時，應(yīng)說明其來源。當給出擴展不確定度U 時，一般應(yīng)注明所取的k值；若未注明k值，則指k＝2。”'
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      路云先生的話，第一句完全符合VIM3的原意。后邊關(guān)于“k＝2”的表達法，完全符合GUM、VIM、JJF1001、JJF1059的規(guī)定。誤差理論涉及隨機誤差時，取k值為3，通常不必說明。不確定度理論主張k值取2，因此擴展不確定度通常取k為2，一般都省略，省略k=2的說明已是慣例，又完全符合國際規(guī)范，符合國家規(guī)范，你還說必須標明k=2，你爭這些，還有意思嗎？
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    我明白你爭的不是k=2能不能省略；你是以此為借口，反對L=M±U這一表達。反對什么就直說，不必繞到k=2寫沒寫那里去。寫不寫k=2與能不能表達為L=M±U沒有關(guān)系。
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    都成先生曾轉(zhuǎn)達葉德培先生的意思說：VIM3關(guān)于區(qū)間包含真值的說法，是國際學術(shù)界的新研究成果。至于她是贊成還是反對，沒有明說。你規(guī)矩灣先生，既然承認不確定度是包含真值的區(qū)間的半寬，就必須承認：
    1 半寬度必定是區(qū)間的半寬度，脫離區(qū)間的半寬度，沒有意義。
    2 不確定度恒正，是個絕對值。既是區(qū)間的半寬，就得承認是對稱區(qū)間的半寬。
    3 既是對稱區(qū)間，就得承認有區(qū)間中心。
    4 區(qū)間中心只能是測得值。再說真值是對稱中心，邏輯錯誤。真值是區(qū)間中的一個點。自己不能是自己可能存在區(qū)間的中心。
    5 區(qū)間包含測得值與真值，必定是定位的區(qū)間。懸浮的區(qū)間，毫無意義。
    6 以上5條的綜合表達就是公式 L=M±U .
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    總之，你反對L=M±U的表達，是沒有道理的，是不符合VIM3的，更直接對抗JJF。望君思之。
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回復 472# 何必


         平方與平方根（規(guī)定取正值）是完全一一對應(yīng)的。既然平方是無偏的，貝塞爾公式算出的西格瑪就是可信賴的。我的推導中，沒做任何假設(shè)，因此不存在假設(shè)不成立的問題。

回復 477# 史錦順


    過去多少學過一些統(tǒng)計學，當然只學到了皮毛。印象中好像有σn與σn-1的區(qū)別一說，如果統(tǒng)計樣本是全體，或者說是全的，則適用前者，否則適用后者，這一點在EXCEL的函數(shù)中也有區(qū)分，似乎與平方不平方的無關(guān)。只要統(tǒng)計樣本沒有收集全、統(tǒng)計結(jié)果就不可能是無偏的，隨著統(tǒng)計樣本數(shù)的增多，統(tǒng)計結(jié)果只能越來越接近無偏估計。哪怕是少用了一個統(tǒng)計樣本，其統(tǒng)計結(jié)果依然是有偏的，只是偏多偏少的差異而已。

回復 478# 星空漫步


    統(tǒng)計學的“無偏”不是要求相等，而是該值的極限等于目標值。
     1  σn的平方的極限不等于方差Dξ，因此σn的平方不是方差Dξ的無偏估計；
     2  σn-1的平方的極限等于方差Dξ，因此σn-1的平方是方差Dξ的無偏估計。
     我證明的是第2點。這是原有的理論，不是我的發(fā)現(xiàn)。由于有第2條，人們就更相信貝塞爾公式。

回復 476# 史錦順

　　關(guān)于包含因子k，JJF1059.1在兩個地方提出了使用要求：
　　其一是在標準不確定度分量的B類評定時，用被測量可能值的半寬a除以包含因子k，就是該輸入量給測量結(jié)果引入的標準不確定度分量。在這一步評估計算中，必須正確選擇k的大小，當已知k時直接使用k值；不知k值而知道輸入量分布狀態(tài)時按表2、表3選擇k值；不知k值，也不知分布狀態(tài)時，按中庸偏保守的原則取k＝√3。
　　其二，是在不確定度評定結(jié)束給出不確定度報告時，5.1.1條明確規(guī)定“完整的測量結(jié)果應(yīng)報告被測量的估計值及其測量不確定度以及有關(guān)的信息”，目的是“以便使用者可以正確地使利用測量結(jié)果”，“有關(guān)信息”就是包含因子k，有效自由度Veff、包含概率p，或包含因子kp。顯然如果給出的是擴展不確定度U，只給出測量結(jié)果y及其不確定度U，不給出有關(guān)信息k的做法是不符合規(guī)定的。5.1.3條規(guī)定了“如果沒有特殊要求，一律報告擴展不確定度U”，評估U使用的包含因子“一般取k＝2”。5.2.2條d)款還特別明確規(guī)定了“對U應(yīng)給出k值”，5.2.2.1條更是詳細給出了四個示例，這四個例子告訴我們那個k=2截然不可遺漏。
　　因此，僅僅報告L=M±U，而不報告k=2，是違反不確定度報告基本要求的，是不合格的報告，必須堅決反對。這種報告與誤差理論中對測量結(jié)果及其誤差的報告形式L=M±Δ極易混淆，以至于業(yè)內(nèi)一些精英也誤認為U就是Δ，甚至提出了“本來就是要用擴展不確定度代替誤差范圍”的觀點。打個不夠確切的比喻，菜刀和繡花針都是工具，但用菜刀代替繡花針的做法將是可笑的，不允許的。因此，對這種違反規(guī)定的錯誤不確定度報告必須退回去，要求其查找原因重新評定和報告。

回復 477# 史錦順

     史老，我是指你在460#的假設(shè)不成立。

“能不能這樣說：總體均值就是平均值的期望值。樣本均值就是測得值的平均值。樣本標準差就是按貝塞爾公式算出的標準偏差，就是單值的σ。而總體的標準偏差就是單值的σ的期望值。如術(shù)語代換成立，則有：”

按貝塞爾公式算出的樣本標準偏差（實驗標準偏差S）,樣本標準偏差S的數(shù)學期望不會等于總體的標準偏差σ。即樣本標準偏差S不是總體標準偏差σ的一致無偏估計。

所以我們在實際工作中以樣本標準偏差S代替總體的標準偏差σ，這種代替會產(chǎn)生一定的差異（S-σ），這差異如何評估才是我想要知道的問題！

你的問題，換一下術(shù)語，我就可以回答些。

我看過的統(tǒng)計學書不多；只是在誤差理論的書籍中轉(zhuǎn)，不熟悉統(tǒng)計學的術(shù)語。

我理解，橫向的“總體”可以變成縱向的“無限”，而橫向的N個采樣，可以變成縱向的N次采樣。縱向的思維，更適用于測量計量。

能不能這樣說：總體均值就是平均值的期望值。樣本均值就是測得值的平均值。樣本標準差就是按貝塞爾公式算出的標準偏差，就是單值的σ。而總體的標準偏差就是單值的σ的期望值。如術(shù)語代換成立，則有：

1 標準偏差的標準偏差（σ的σ）是：

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前天 21:22

N是測量次數(shù)（樣本數(shù)）。例如N=9，標準差的標準差是1/4；N=51.則標準差的標準差是1/10。

此公式引自馮師顏編《誤差理論與實驗數(shù)據(jù)處理》（1964年，科學出版社）。馮氏給出的公式來歷為：

         Rossini and Deming,J.,Wash.Acad.Sci.29(1939),416.

此文獻很早（我沒查過，也不會推導），大而老的圖書館，如北京圖書館、北大圖書館，肯定有。

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2 如果說：樣本均值就是測得值的平均值；總體均值就是平均值的期望值。于是，題目就變成平均值的σ是多少。

按貝塞爾公式算得的是單值的σ。平均值的σ記為σ(平)，則σ(平)等于σ除以根號N.

σ是均方根值，測量計量中的單值的偏差范圍是3σ；而平均值的偏差范圍是3σ(平)。偏差是統(tǒng)計測量（快變量測量）的稱呼。經(jīng)典測量是常量測量，講究的是測得值對真值的偏離，要稱作誤差。