測量儀器誤差的共同規(guī)律——偏倚正態(tài)分布

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                 測量儀器誤差的共同規(guī)律
                       ——偏倚正態(tài)分布
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                                                                                                 史錦順
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1 晶振頻率分布圖——偏倚正態(tài)分布
       筆者在上世紀(jì)的后三十年，一邊研制銫原子頻標(biāo)、石英晶體頻標(biāo)（晶振），一邊大量測量晶振的性能指標(biāo)，其中包括日常之頻率計(jì)的計(jì)量檢定（主要是機(jī)內(nèi)晶振的性能）、高穩(wěn)晶振的產(chǎn)品出所檢驗(yàn)。還利用三屆全國晶振比對會的大好時機(jī)，處理過各類高穩(wěn)晶振（百余臺次）的全部數(shù)據(jù)。
       數(shù)千臺次的測量與數(shù)據(jù)處理，得出一個結(jié)論：晶振輸出頻率的分布都是偏倚正態(tài)分布。
       以下所談到的“分布”，前提都是“時域統(tǒng)計(jì)”。就是重復(fù)測量的情況。（這是對晶振頻率的統(tǒng)計(jì)測量，此時的測量誤差可略。）

       如國家計(jì)量院崔偉群先生指出的：測量有兩種情況。第一種情況是用一臺儀器重復(fù)測量同一被測量；第二種情況是用多臺（例如20臺）儀器同時測量同一被測量。實(shí)際測量計(jì)量工作都是第一種情況。第二種情況是不確定度體系的根基，但一般不可能。研制中偶爾這樣做，統(tǒng)計(jì)一下合格率。實(shí)際測量計(jì)量工作沒人這樣干。
       “統(tǒng)計(jì)方式”是重要的前提條件，我再結(jié)合測量計(jì)量工作的實(shí)際，細(xì)說一下。
       計(jì)量中是用被檢儀器“測量”已知準(zhǔn)確度的計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)(誤差范圍可略，可視為“實(shí)際值”)。在重復(fù)測量中，計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)的值是常量。
       測量N次，得N個測量值。由于測量誤差可略，每個值都是實(shí)際值。晶振的測量，標(biāo)準(zhǔn)是原子頻標(biāo)（以及頻率合成器、比對器），測量的系統(tǒng)誤差小于晶振系統(tǒng)偏差范圍的1/20，測量的系統(tǒng)誤差可略；短穩(wěn)（隨機(jī)變化）用特選的國際上高穩(wěn)晶振，隨機(jī)誤差小于被測晶振隨機(jī)變化的1/5,測量的隨機(jī)誤差可略。（以上比例是研究中的實(shí)際情況。不是計(jì)量工作的一般要求。）
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       以下的圖，不是嚴(yán)格根據(jù)實(shí)測數(shù)據(jù)畫的。是一種基本符合實(shí)際情況的概括（示意圖）。每組測量都是100個測量值。（計(jì)算計(jì)數(shù)器自動操作。）

【符號意義】
f——晶振頻率輸出實(shí)際值
f_平——晶振頻率輸出實(shí)際值的平均值（N=100）
fn——晶振頻率標(biāo)稱值（頻率量的定義值）
β ——晶振頻率的系統(tǒng)偏差
σ——晶振頻率的隨機(jī)標(biāo)準(zhǔn)偏差

         
   
      

圖1  晶振頻率分布圖


（未完，待續(xù)）

2 數(shù)字式頻率計(jì)的誤差分布——偏倚正態(tài)分布
2.1 數(shù)字式頻率計(jì)的誤差與機(jī)內(nèi)晶振頻率偏差的關(guān)系
       數(shù)字式頻率計(jì)的準(zhǔn)確度水平，主要取決于機(jī)內(nèi)的頻率標(biāo)準(zhǔn)。通常的頻率標(biāo)準(zhǔn)就是高穩(wěn)晶振。
       頻率計(jì)的測量誤差范圍（其指標(biāo)值稱準(zhǔn)確度）基本上取決于晶振頻率的偏差范圍。晶振頻率漂移、溫度影響等，都?xì)w入“長穩(wěn)”項(xiàng)，另行疊加。
       頻率計(jì)的物理公式為：
               f = N/T                                      （1）
       以高穩(wěn)定的頻率源為基礎(chǔ)的精確的頻率測量，在現(xiàn)代高精度測量中占重要地位。
       式中N為計(jì)數(shù)值，T為閘門時間。誤差理論的原有分析，沒有區(qū)分測量值和實(shí)際值。此式明顯標(biāo)示，頻率與閘門時間成反比。由此，若內(nèi)標(biāo)頻率偏低，則閘門時間長，則頻率測量值小；其實(shí)，恰恰相反：內(nèi)標(biāo)頻率偏低，必有閘門時間值偏大，必定頻率測量值偏大。
       式（1）是物理公式，不便直接用于分析測量問題；以往硬這樣做（包括所有儀器的內(nèi)標(biāo)誤差的分析），難免出錯。有些作者（如馬鳳鳴）看到了這一點(diǎn)，用取絕對值的辦法來避免正負(fù)號的矛盾，這不能算錯，但繞開矛盾，實(shí)際上也掩蓋了矛盾。
       要做幾種區(qū)分：區(qū)分頻率的測量值與實(shí)際值；區(qū)分閘門時間的標(biāo)稱值與實(shí)際值；區(qū)分N的顯示值與實(shí)際值。
       計(jì)數(shù)式頻率計(jì)的計(jì)值公式為：
                  f_m = N_r/T_n                                        （2）
式中fm是測量值（被測頻率的實(shí)際值是f），Tn是閘門時間的標(biāo)稱值(閘門實(shí)際時間是T)，Nr是計(jì)數(shù)器的指示值。Nr區(qū)別于由fT乘積決定的周期數(shù)N 。Nr有±1誤差。Tn 通常為1秒，或1秒的10^±N倍。
    分析測量值，就是分析測量值同實(shí)際值的差別，就是將測量值同實(shí)際值相比較。比較的方法之一是二者相除。實(shí)際值做除數(shù)，即做標(biāo)準(zhǔn)。

（未完待續(xù)）

2.2 數(shù)字式頻率計(jì)的誤差分布——偏倚正態(tài)分布
      由于頻率計(jì)的相對測量誤差與內(nèi)標(biāo)晶振的相對頻率偏差成反比，這樣，數(shù)字式頻率計(jì)的頻率測量值的分布曲線，就與內(nèi)標(biāo)晶振的頻率分布圖，左右翻轉(zhuǎn)。

      
        

圖2  數(shù)字式頻率計(jì)測量誤差分布圖

（未完待續(xù)）

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2.3 數(shù)字頻率計(jì)的測量結(jié)果
       本文圖較多，但都很簡單。讀者可以自己試畫一下《數(shù)字頻率計(jì)的測量結(jié)果圖》。
       上面的晶振頻率分布圖、計(jì)數(shù)式頻率計(jì)的誤差分布圖，表明的都是客觀的規(guī)律，是物理過程，都是可以通過實(shí)驗(yàn)測量得到的。
       而“頻率計(jì)的測量結(jié)果圖”，表明的是人的認(rèn)知過程。它的來源是“頻率計(jì)的誤差分布”這一客觀規(guī)律。而頻率計(jì)的誤差分布必定是“偏倚正態(tài)分布”。
       分布規(guī)律形式相同，但具體區(qū)別如下：
       1）系統(tǒng)誤差β不同。在研制或計(jì)量場合，有計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)，直接測量出的系統(tǒng)誤差是“視在系統(tǒng)誤差”。
       儀器的實(shí)際應(yīng)用場合，時間過了一段時間（短則幾天，長達(dá)檢定周期之一年），晶振頻率有自身漂移。且溫度等環(huán)境影響不同。
       依據(jù)“測量值區(qū)間”得到的“測量結(jié)果區(qū)間”，是解“絕對值不等式方程”的結(jié)果，因此，一個測量值對應(yīng)的是一個被測量的實(shí)際值的區(qū)間。測量者要根據(jù)所用儀器的誤差范圍指標(biāo)值，來確定測量結(jié)果的表達(dá)。測量結(jié)果是：
             S = M ± R_{儀指標(biāo)}
       當(dāng)前，所謂的“校準(zhǔn)修正”，存在嚴(yán)重問題，實(shí)際上不可用。


（未完待續(xù)）

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3 偏倚正態(tài)分布是通常測量儀器的普遍規(guī)律
3.1 精密測量儀器

         
圖3  精密測量儀器測量結(jié)果分布示意圖（虛線為測量值）   

【說明】
       1）在應(yīng)用場合系統(tǒng)誤差β_總不同于計(jì)量（或研制）場合的“視在系統(tǒng)誤差” β。在研制或計(jì)量場合，有計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)，直接測量出的系統(tǒng)誤差是“視在系統(tǒng)誤差”。測量時的系統(tǒng)誤差β_總，既以研制、計(jì)量中實(shí)際測得的“視在系統(tǒng)誤差”為主，又必然包括長穩(wěn)項(xiàng)。“長穩(wěn)”指儀器本身的變化（自身的量值漂移）與環(huán)境影響。
       2）誤差元等于測量值減被測量的實(shí)際值，誤差范圍是誤差元絕對值的最大可能值。因此，誤差范圍值R在有計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)的條件下，是可以實(shí)際測量的。計(jì)量業(yè)務(wù)的本質(zhì)就是測定被檢儀器的誤差范圍的實(shí)際值（計(jì)量當(dāng)場的抽測值，廠家應(yīng)留有余量）。
       3）儀器的誤差范圍指標(biāo)值，是社會的產(chǎn)物，是為便于使用的一種人為規(guī)定，由產(chǎn)品標(biāo)準(zhǔn)（國家部門或行業(yè)部門）確定。是應(yīng)用選型、交易以及計(jì)量、檢驗(yàn)、驗(yàn)收的標(biāo)準(zhǔn)。測量儀器的指標(biāo)值，簡稱為“準(zhǔn)確度”，是定量的。產(chǎn)品指標(biāo)合格，指的是實(shí)測的誤差范圍值不大于指標(biāo)值R_{儀指標(biāo)}。合格的儀器才能使用，這是計(jì)量法的規(guī)定。當(dāng)前的所謂“修正”，是不合理的。（1校準(zhǔn)與應(yīng)用不是同時操作，漏掉“長穩(wěn)”項(xiàng)；2用“校準(zhǔn)值”修正，不僅漏掉“長穩(wěn)”還混入不可能修正的隨機(jī)誤差；校準(zhǔn)點(diǎn)與測量點(diǎn)絕大多數(shù)不一致，常常是錯位應(yīng)用、張冠李戴。）
       測量儀器的誤差范圍指標(biāo)值（準(zhǔn)確度）是社會的嚴(yán)肅的共同約定，是規(guī)范。不合格就不能用，這是原則，這是法治。不合格就要廢棄。“修正一下”再用，不是現(xiàn)代化時代的“節(jié)約”，而是違法操作。

3.2 通用測量儀器
       市場上用的測量儀器，都是指標(biāo)較低（夠用）的測量儀器。其示值變化，大致為分辨力。也就是將上圖的鐘形線壓窄到三條線（線的間距是分辨力）的情況。通用測量儀器也應(yīng)計(jì)量。不允許修正。

       再重復(fù)一下上節(jié)的觀點(diǎn)。
       測量者沒有計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)，不可能知道β_總的具體值。測量者知道測量儀器的誤差范圍指標(biāo)值值（R_{儀指標(biāo)}，即準(zhǔn)確度）。而合格的測量儀器，必然是測量時的實(shí)際誤差范圍值R不大于測量儀器誤差范圍的指標(biāo)值。這一點(diǎn)由計(jì)量部門（以及儀器生產(chǎn)廠）來保證。

4 結(jié)論
        不確定度體系誕生以來，“分布”問題，衍生出大量的混亂現(xiàn)象。難倒多少英雄。莫須有的問題是無解的。
        例如系統(tǒng)誤差“均勻分布”，就是“時域統(tǒng)計(jì)”中不可能的現(xiàn)象。
        不確定度體系的大量主要觀點(diǎn)與作法，都是違反測量計(jì)量客觀規(guī)律的。值得人們深思啊！

        測量儀器的誤差分布，就是“偏倚正態(tài)分布”。這里論述的是測量儀器的整體；不涉及研制中對個別部件的特別需要。于是問題就變得清晰簡單了。此事貫通于如下場合：測量儀器的出廠檢驗(yàn)；儀器的選購、驗(yàn)收；測量儀器的計(jì)量與合格性判斷；直接測量中儀器的正確使用。此問題是值得計(jì)量工作者認(rèn)真思考的。敬請批評！
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（全文完）

測量儀器的誤差分布，是移動“偏倚正態(tài)分布”可能更符合實(shí)際

一臺合格的測量儀器，“偏倚正態(tài)分布”可能會在 R儀指標(biāo) 整個范圍內(nèi)或小范圍內(nèi)移動

也存在移動極小可忽略的“偏倚正態(tài)分布”，這些是校準(zhǔn)后可以修正使用的，如5071A，修正在-13方量級使用沒有問題

由于存在移動，系統(tǒng)誤差均勻分布同“偏倚正態(tài)分布”并不矛盾

史錦順 發(fā)表于 2021-7-6 10:08
2 數(shù)字式頻率計(jì)的誤差分布——偏倚正態(tài)分布
2.1 數(shù)字式頻率計(jì)的誤差與機(jī)內(nèi)晶振頻率偏差的關(guān)系
        數(shù)字 ...

頻率的計(jì)算公式不是這個嗎？f=1/T

period@163.com 發(fā)表于 2021-8-9 16:19
頻率的計(jì)算公式不是這個嗎？f=1/T

【質(zhì)疑】
頻率的計(jì)算公式不是這個嗎？f=1/T

【史答】
       先生所舉公式，
                f=1/T                                                       （1）
確實(shí)是基本的常見到的公式之一。公式（1）表明頻率這個物理量與周期這個物理量的關(guān)系。但要注意：此式是對同一個周期運(yùn)動而言的。這里的字母“T”,表示被測信號自身的周期，與被測信號的頻率有固定的對應(yīng)關(guān)系。
       定義1  頻率f是單位時間內(nèi)的周期運(yùn)動次數(shù)。
       定義2  周期T是一個周期運(yùn)動所用的時間（從上一個初相到下一個初相所用的時間）。
       設(shè)觀察時間是t。由定義1，有:頻率f為周期運(yùn)動次數(shù)N/觀察所用時間t, 即
              f=N/t                                                      （2）
       由定義2，周期運(yùn)動N次共用時間為t，則每個周期運(yùn)動所用的時間就是
             T = t/N                                                     （3）
       將（3）（2）兩式相乘，即有
              fT=1                                                        （4）
亦即
               f=1/T                                                      （5）
這里導(dǎo)出的公式（5），就是先生所列的公式（1）。
        公式（1）是對同一周期運(yùn)動而言的。對同一周期運(yùn)動是普適規(guī)律。這個規(guī)律指明：對同一周期運(yùn)動，頻率與周期之間有必然的規(guī)律，二者互為倒數(shù)，知道一個也就必然知道另一個。這是由已知量求等價(jià)的另一已知量，對測量來說，沒用。
        
       頻率測量要按定義1進(jìn)行。
       頻率計(jì)必須有機(jī)內(nèi)標(biāo)準(zhǔn)（簡稱內(nèi)標(biāo)，通常是高穩(wěn)晶振），由它提供標(biāo)準(zhǔn)時間間隔（簡稱時段，或標(biāo)準(zhǔn)時間）。這個標(biāo)準(zhǔn)時間，就是計(jì)數(shù)器的閘門時間，又稱采樣時間。閘門時間，一般書籍記為希臘字母τ，《史法測量計(jì)量學(xué)》記為T.當(dāng)初的考慮是τ習(xí)慣上視為常量，而高精度頻率計(jì)的誤差分析，主要是標(biāo)準(zhǔn)時間的偏差，因此該用個易于取微分的符號。該不該改回去，想一想，比較一下利弊再說。
       請先生注意，主文所用的符號T,是數(shù)字頻率計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)時間（閘門時間），不是被測頻率的“周期”。
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史錦順 發(fā)表于 2021-8-11 09:24
【質(zhì)疑】
頻率的計(jì)算公式不是這個嗎？f=1/T

按你所說應(yīng)該是（2）*（3）式才有f=1/T。N次對應(yīng)的時間不應(yīng)該是T=T1+T2+...+TN？