力 學 概 述（七）

　　分析力學是理論力學的一個分支，它通過用廣義坐標為描述質點系的變數，以牛頓運動定律為基礎，運用數學分析的方法，研究宏觀現象中的力學問題。
　　分析力學是適合于研究宏觀現象的力學體系，它的研究對象是質點系。質點系可視為宏觀物體組成的力學系統的理想模型，例如剛體、彈性體、流體以及它們的綜合體都可看作質點系，質點數可由一到無窮。又如太陽系可看作自由質點系，星體間的相互作用是萬有引力，研究太陽系中行星和衛星運動的天體力學，同分析力學密切相關，在方法上互相促進；工程上的力學問題大多數是約束的質點系，由于約束方程類型的不同，就形成了不同的力學系統。例如，完整系統、非完整系統、定常系統、非定常系統等。
　　不同的系統所遵循的運動微分方程不同；研究大量粒子的系統需用統計力學；量子效應不能忽略的過程需用量子力學研究。但分析力學知識在統計力學和量子力學中仍起著重要作用。分析力學對于具有約束的質點系的求解更為優越，因為有了約束方程，系統的自由度就可減少，運動微分方程組的階數陸之降低，更易于求解。
　　分析力學的發源
　　1788年拉格朗日出版的《分析力學》是世界上最早的一本分析力學的著作。分析力學是建立在虛功原理和達朗貝爾原理的基礎上。兩者結合，可得到動力學普遍方程，從而導出分析力學各種系統的動力方程。1760～1761年，拉格朗日用這兩個原理和理想約束結合，得到了動力學的普遍方程，幾乎所有的分析力學的動力學方程都是從這個方程直接或間接導出的。
　　1834年，漢密爾頓推得用廣義坐標和廣義動量聯合表示的動力學方程，稱為正則方程。漢密爾頓體系在多維空間中，可用代表一個系統的點的路徑積分的變分原理研究完整系統的力學問題。
　　從1861年有人導出球在水平面上作無滑動的滾動方程開始，到1899年阿佩爾在《理性力學》中提出阿佩爾方程為止，基本上已完成了線性非完整約束的理論。
　　20世紀分析力學對非線性、不定常、變質量等力學系統作了進一步研究，對于運動的穩定性問題作了廣泛的研究。
　　分析力學的主要內容
　　分析力學研究的主要內容是：導出各種力學系統的動力方程，如完整系統的拉格朗日方程、正則方程，非完整系統的阿佩爾方程等；探求力學的普適原理，如漢密爾頓原理、最小作用量原理等；探討力學系統的特性；研究求解運動微分方程的方法，例如，研究正則變換以求解正則方程；研究相空間代表點的軌跡，以判別系統的穩定性等。
　　分析力學解題法和牛頓力學的經典解題法不同，牛頓法把物體系拆開成分離體，按反作用定律附以約束反力，然后列出運動方程。
　　分析力學中也可用變分原理(如漢密爾頓原理)導出運動微分方程。它的優點是可以推廣到新領域(如電動力學)和應用變分學中的近似法來解題。從20世紀60年代開始，為了設計復雜的航天器和機器人的需要，發展多剛體系統，并且跳出了使用動力學函數求導的傳統方法來建立動力學方程，所建立的方程能方便地應用電子計算機進行計算。
　　在量子力學未建立以前，物理學家曾用分析力學研究微觀現象的力學問題。從1923年起，量子力學開始建立并逐步完善，才在微觀現象的研究領域中取代了分析力學。但是，掌握分析力學的一些基本知識有助于學好量子力學。例如用分析力學知識求出漢密爾頓函數，再化成漢密爾頓算符，又自漢密爾頓-雅可比方程化成波動力學的基本方程——薛定諤方程等。
　　愛因斯坦提出相對論時，也曾把分析力學的一些方法應用于研究速度接近光速的相對論力學。

　　運動學是理論力學的一個分支學科，它是運用幾何學的方法來研究物體的運動，通常不考慮力和質量等因素的影響。至于物體的運動和力的關系，則是動力學的研究課題。
　　用幾何方法描述物體的運動必須確定一個參照系，因此，單純從運動學的觀點看，對任何運動的描述都是相對的。這里，運動的相對性是指經典力學范疇內的，即在不同的參照系中時間和空間的量度相同，和參照系的運動無關。不過當物體的速度接近光速時，時間和空間的量度就同參照系有關了。這里的“運動”指機械運動，即物體位置的改變；所謂“從幾何的角度”是指不涉及物體本身的物理性質(如質量等)和加在物體上的力。
　　運動學主要研究點和剛體的運動規律。點是指沒有大小和質量、在空間占據一定位置的幾何點。剛體是沒有質量、不變形、但有一定形狀、占據空間一定位置的形體。運動學包括點的運動學和剛體運動學兩部分。掌握了這兩類運動，才可能進一步研究變形體(彈性體、流體等)的運動。
　　在變形體研究中，須把物體中微團的剛性位移和應變分開。點的運動學研究點的運動方程、軌跡、位移、速度、加速度等運動特征，這些都隨所選的參考系不同而異；而剛體運動學還要研究剛體本身的轉動過程、角速度、角加速度等更復雜些的運動特征。剛體運動按運動的特性又可分為：剛體的平動、剛體定軸轉動、剛體平面運動、剛體定點轉動和剛體一般運動。
　　運動學為動力學、機械原理(機械學)提供理論基礎，也包含有自然科學和工程技術很多學科所必需的基本知識。
　　運動學的發展歷史
　　運動學在發展的初期，從屬于動力學，隨著動力學而發展。古代，人們通過對地面物體和天體運動的觀察，逐漸形成了物體在空間中位置的變化和時間的概念。中國戰國時期在《墨經》中已有關于運動和時間先后的描述。亞里士多德在《物理學》中討論了落體運動和圓運動，已有了速度的概念。
　　伽利略發現了等加速直線運動中，距離與時間二次方成正比的規律，建立了加速度的概念。在對彈射體運動的研究中，他得出拋物線軌跡，并建立了運動(或速度)合成的平行四邊形法則，伽利略為點的運動學奠定了基礎。在此基礎上，惠更斯在對擺的運動和牛頓在對天體運動的研究中，各自獨立地提出了離心力的概念，從而發現了向心加速度與速度的二次方成正比、同半徑成反比的規律。
　　18世紀后期，由于天文學、造船業和機械業的發展和需要，歐拉用幾何方法系統地研究了剛體的定軸轉動和剛體的定點運動問題，提出了后人用他的姓氏命名的歐拉角的概念，建立了歐拉運動學方程和剛體有限轉動位移定理，并由此得到剛體瞬時轉動軸和瞬時角速度矢量的概念，深刻地揭示了這種復雜運動形式的基本運動特征。所以歐拉可稱為剛體運動學的奠基人。
　　此后，拉格朗日和漢密爾頓分別引入了廣義坐標、廣義速度和廣義動量，為在多維位形空間和相空間中用幾何方法描述多自由度質點系統的運動開辟了新的途徑，促進了分析動力學的發展。
　　19世紀末以來，為了適應不同生產需要、完成不同動作的各種機器相繼出現并廣泛使用，于是，機構學應運而生。機構學的任務是分析機構的運動規律，根據需要實現的運動設計新的機構和進行機構的綜合。現代儀器和自動化技術的發展又促進機構學的進一步發展，提出了各種平面和空間機構運動分析和綜合的問題，作為機構學的理論基礎，運動學已逐漸脫離動力學而成為經典力學中一個獨立的分支。