不確定度評定中的相關性問題

最近單位在寫銣原子頻率標準建標報告，關于測量重復性分量與其他分量是否有相關性引起了爭論，分量主要有銣頻標不準、頻標比對不準、測量重復性等分量。有人說既然測量重復性是拿銣頻標等儀器測出，那重復性就和銣頻標不準分量有相關性，他說的對嗎？求解

要嚴格分析很多分量之間是有相關性的，但是一般我們估計的不確定度都是略微往大了估計的，因此，按照不相關估計不會造成漏判，因此，一般的不確定度評定中，除有明顯的相關關系的外，一般都不考慮相關性。

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       經典的誤差理論沒有相關性的說法。
       不確定度理論為了用“方和根法”，才提出相關性的問題。因為(a+b)的平方等于(a的平方)+2ab+(b的平方)，只有2ab很小，可以忽略，才有[(a+b)的平方]等于(a的平方)+(b的平方)，才能用“方和根法”。
       “方和根法”是否成立，取決于交叉項2ab是否可以忽略，而同【a量和b量之間是否相關】沒有關系。
        GUM、VIM、JJF、大量不確定度樣板評定以及各種教科書、書籍所講的關于相關性的內容，都是脫離實際的，沒有道理。而大量的“假設不相關”，都是白說；因為交叉項能否可略，與相關性沒有關系。
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        你的具體問題，已認為誤差項是三個：銣頻標不準、重復性、比對器誤差。
        1）銣頻標不準，定量為銣頻標的準確度，就是誤差范圍，這由廠家給出，并經上級計量部門檢定（或校準）公證。此項誤差范圍以系統誤差為主，當做是系統誤差（符合誤差的上限性特點），記為β（數值等于銣頻標的誤差范圍，符號可正可負）。廠家給出的指標是R(銣)= |β|
        2）重復性，就是多次測量呈現的隨機誤差 ，記為ξ1i。ξ1i是量值可大可小，符號可正可負，取3ξi為對誤差范圍權重為1的隨機誤差元。單項測量結果為R(重復)=3σ(ξ1)= σ(3ξ1)
        3）頻標比對器的誤差是隨機誤差，誤差元記為ξ2i. 廠家給出指標為R(比對)=3σ(ξ2)= σ(3ξ2)（按《時間頻率計量》一書的作法，直接用廠家的阿侖偏差指標值）。
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      你的案例是一項系統誤差與兩項隨機誤差合成，合成公式為：
      R(總)= √[R(銣)^2+R(重復)^2+R(比對)^2]                                              （1）
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       在僅有一項系統誤差的情況下，（1）式成立的條件是單項系統誤差、其他誤差隨機（可正可負）、大量。交叉系數構成有充分的抵消性，交叉項可略，“方和根法”成立。

       公式（1）成立的條件與“各項間相關還是不相關”沒有關系。因此，你的顧慮沒必要。有人說“相關”，沒關系；因為即使“相關”，公式（1）也成立。注意，如果有兩項大系統誤差，二者必須取“絕對和”，而其余操作是取“方和根”。這里僅有一項系統誤差，而其他為隨機誤差，不管相關不相關，都取“方和根”。
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附錄
理論根據
（一）誤差合成的理論基礎
       函數的改變量，等于函數對各個自變量偏微分的和。就是泰勒展開的一級近似。
              f(x,y) = f(xo,yo)+ (?f/?x) (x-xo)+ (?f/?y) (y-yo)                    （7）
              f(x,y) - f(xo,yo) =(?f/?x) Δx+ (?f/?y) Δy                                （8）
              Δf =(?f/?x)Δx + (?f/?y)Δy                                                    （9）
       公式（9）是偏差關系的普遍形式。對所研究的特定函數來說，?f/?x、?f/?y是常數。
       偏差關系用于測量計量領域，x是測得值，xo是真值, Δx是測得值x的誤差元；y是測得值，yo是真值，Δy是測得值y的誤差元；f(x,y)是代表被測量的函數值， f(xo,yo) 是函數的真值，Δf= f(x,y)-f(xo,yo) 是函數值的誤差元。
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（二）隨機誤差元構成的誤差范圍
       1 隨機誤差元等于測得值減測得值的期望值（當無系統誤差時，期望值是真值）。隨機誤差元的期望值是零。隨機誤差元為：
                 ξi = Xi- Z                                                                           （1）
       2 標準誤差定義為
               σ =√(1/N)∑ξi                                                                        （2）
       3 貝塞爾公式用測得值的平均值代換（2）式中的期望值，得到：
               σ =√{[1/(N-1)]∑[X-X(平)]^2}                                                 （3）
       4 隨機誤差范圍
               R = 3σ =3√(1/N)∑ξi^2
                 =√(1/N)∑(3ξi)^2                                                                 （4）
       5 由公式（4），有：
                R=3σ(ξ)= σ(3ξ)                                                                    （5）
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（三）隨機誤差與單個系統誤差合成的交叉因子
       兩個分項誤差，一個是隨機的，記為ξ，考慮到對誤差范圍的權重，取單元量為3ξ（ΔX）；一個是系統的（重復測量中不變），記為β（ΔY）。
       代入公式（13），有
               J =(1/N)(∑3ξiβ) / [σ(X) σ(Y)]                                                 （16）
       系統誤差元是常數可以提出來，有
               J =(1/N) (3β∑ξi) / {√[(1/N)∑ΔX^2]√[(1/N)∑ΔY^2]}                 （17）
       大量重復測量（例如N=20，N不得小于10）中，（17）式的∑ξi等于零或可以忽略，因此J近似為0，可以忽略。“方和根法”成立。
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       詳見本欄目文章《誤差合成的“方根法”—— 測量計量理論與實務探討（1）》
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史錦順 發表于 2015-11-18 09:12
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       經典的誤差理論沒有相關性的說法。

【經典的誤差理論沒有相關性的說法】應該只是沒有明確“說出來”而已，它在分別處理“系統誤差（范圍）合成”、“隨機誤差（范圍）合成”時，是“精簡”的考慮了“相關性”問題的。不然，怎么會用了不同的“合成”公式呢？

數學上，兩個序列之間的“相關性”（或稱“正交性”——“不相關性”）就是用【兩者對應序號取值“互積和”】（對應您現稱的“交叉項”）與【各自方和根(開方)的乘積】之比（謂之“相關系數”）來表達的。

對于一個“誤差分量”對應的“誤差序列”，理論上可以求它的“均值”和“標準偏差”（“標準偏差”大致就是“均方差根”），也可以求它的“均方根”，它們的關系大致是

                          “均方根”的平方=“均值”的平方+“均方差根”的平方

表達一個“誤差分量”的“整體大小”（即“可能的最大值”），顯然應該用“包含‘均值’影響的‘均方根’”，而不能僅用“標準偏差（‘均方差根’）”，除非“均值”等于零！...... 統計學中的“皮爾蓀”相關系數是從“只關心散布（‘標準偏差’表述）的‘相關性’”的角度定義的，如果從關心“整體大小”（即“可能的最大值”）的角度考慮‘均方根’（或‘均方值’），自然會得到我們曾經提到的的那個“全值相關系數”。

問題的癥結是一部分人認為任何“誤差分量”的“均值”都是應該“可知的”，并已得到適當的“修正”，理應將它排除在“測量結果報告”之外；而另一部分人（包括我，還有您？）則認為【很多“誤差分量”的那個理想中的“均值”其實都“不能確知”，只能“合理猜測”——大致對應所謂“（未定）系統誤差”，應該在“測量結果報告”中適當反應】。

因此，建議：還是采用“相關系數”，不宜另命名“交叉因子”。

njlyx 發表于 2015-11-18 12:02
【經典的誤差理論沒有相關性的說法】應該只是沒有明確“說出來”而已，它在分別處理“系統誤 ...

     這兩方面不是按人分類的，而是都正確的兩種做法，可修正也可”合理“估計（個別字眼的問題我就不說了，觀點差不多就行）。 問題的癥結應該是在”合理“估計上，方和根法是沒有爭議的，爭議就在相關系數不好確定上，史先生為了保險，一率當強相關處理，就成為絕和法。

njlyx 發表于 2015-11-18 12:02
【經典的誤差理論沒有相關性的說法】應該只是沒有明確“說出來”而已，它在分別處理“系統誤 ...

討論技術問題還是直接了當更好。相關性問題本來就是傳統隨機誤差理論中的經典內容，協方差和方差概念本來就是同時誕生的，這在測繪、儀器制造等領域是經常涉及的，至多只是計量檢測領域較少涉及。相關性問題本來就不是不確定度的發明創造。

這里的重復性指的是被測儀器的重復性指標，主要是被測儀器自身性能造成的，雖然標準器理論上也會對重復性結果造成一定影響，但由于標準在選用時本身各項指標（包括重復性）遠遠好于被校儀器（這是校準的前提），所以標準器對被測儀器重復性指標造成的影響很小，可以忽略不計，也就不用考慮它們的相關性問題了。

　　葉老師說“相關性問題本來就是傳統隨機誤差理論中的經典內容，協方差和方差概念本來就是同時誕生的，相關性問題本來就不是不確定度的發明創造”。這是客觀事實，也很有道理。但我們仍然應該區分兩個輸入量的測量誤差相關性和由這兩個誤差分別給測得值引入的測量不確定度分量的相關性，誤差是“因”，不確定度是“果”。沒有因就不會有果的產生，但因與果不是一回事，誤差與不確定度也不是一回事，因和因的相關性與果和果的相關性也不是一回事。合成的時候因與因可以合成，果與果合成，但因與果不能合成。

　　銣原子頻率標準建標報告，不確定度分量要看你的方法的測量模型，測量模型有幾個輸入量就應該有幾個不確定度分量，不能多也不能少。
　　測量重復性引入的不確定度分量一定要看是哪個輸入量引入的。一般來說計量標準特性引入的不確定度分量不需要A類評定，因為其所有有用信息我們都知道，用B類評定足矣。重復性引入的不確定度分量評定，主要針對無法知曉有用信息的那個輸入量，在檢定/校準過程中往往是被檢儀器的影響示值誤差測量結果的那個參數（即那個輸入量）。
　　“有人說既然測量重復性是拿銣頻標等儀器測出，那重復性就和銣頻標不準分量有相關性”，他說的對也不對。說它對，是因為重復性實驗必須用計量標準對被檢儀器測量，被檢儀器的讀數必然同時涉及計量標準和被檢儀器，兩者也就必然相關。說它不對，是因為計量標準的計量特性遠遠優于被檢儀器的計量特性，計量標準的重復性影響遠遠小于被檢儀器自身重復性（包括分辨力）的影響，在評估（或稱估計）方法中很小的分量可以忽略不計，這就意味著兩者屬于弱相關，也就可視為不相關。因此重復性引入的不確定度分量不應該算在計量標準身上，而應計入被檢儀器讀數這個輸入量引入的不確定度分量。

yeses 發表于 2015-11-18 13:29
討論技術問題還是直接了當更好。相關性問題本來就是傳統隨機誤差理論中的經典內容，協方差和方差概念本來 ...

引起“問題”的是所謂“（未定）系統誤差分量”的“相關性”處理，  基于“有限誤差樣本序列”的“協方差”、“方差”的“統計”計算所得的“（皮爾蓀）相關系數”不能有效反應它們【指“（未定）系統誤差分量”】與其它“分量”的“相關性”。

“（未定）系統誤差分量”的本質特征應該是其“自相關性”——“自相關系數”在較大的序號間隔范圍內接近于1；  不同“（未定）系統誤差分量”之間的“互相關性”還是需要根據實際情況斟酌，不可能由“（皮爾蓀）相關系數”公式得到有實用價值的“相關系數”【所需“誤差樣本序列”的“完全性”不能得到實際滿足】，也不能認定這“相關系數”就是+1/-1【因為“（未定）系統誤差分量”并不是恒定取某個“常數”，只是在一個有限的實用范圍內近似為“常數”，離開這個“有限的實用范圍”，它就會“隨機的”變為另一個“常數”了。】。

njlyx 發表于 2015-11-18 12:02
【經典的誤差理論沒有相關性的說法】應該只是沒有明確“說出來”而已，它在分別處理“系統誤 ...

“數學上，兩個序列之間的“相關性”（或稱“正交性”——“不相關性”）就是用【兩者對應序號取值“互積和”】（對應您現稱的“交叉項”）與【各自方和根(開方)的乘積】之比（謂之“相關系數”）來表達的。”


      又看到了，最后一次提醒，如果還是堅持的話，我也沒辦法了。您說的互積和，是“相關函數”的一種歸一化表示方法，但實際使用范圍是非常窄的。比如兩組溫度序列，如果用你的公式，用攝氏溫度單位和用華氏溫度單位得到的相關系數是不一樣的。實際上，您的相關系數也在一定程序上表示了兩組隨機變量的相關性，但根據公式特性，僅適用于“定性”比較兩組或以上數值絕對值相近且變化量遠小于與零點的距離的變量的相關性大小。
       相關函數的歸一化表示方法（即相關系數）有不少，但有些適用范圍窄且物理意義不明確，現在比較認可還是協方差法，即下圖中第二種。

thearchyhigh 發表于 2015-11-19 08:57
“數學上，兩個序列之間的“相關性”（或稱“正交性”——“不相關性”）就是用【兩者對應序號取值“互積 ...

多謝你的提醒！

你說的東西大致了解相關知識的人是應該知道的。

如你第一個圖給出的“相關系數”r，其應用范圍當然是有“若干”限制的：首先是兩個“序列”要有等價的物理含義【具體或由“量綱”表明】，如果兩者的“物理含義”不同，那將它們做“求和”等“運算”都是沒有“物理意義”的，談它們的“相關性”也就沒有“物理意義”，你說的“攝氏溫度序列”與“華氏溫度序列”違背了此條“限制”； 其次，參與計算“相關系數”r的“序列”要有“完全的代表性”【起碼滿足：由“序列”計算出的“平均值”與“序列”所屬“總體”的“均值”應高度一致；由“序列”計算出的“方差（或標準差）估計值”與“序列”所屬“總體”的“方差（或標準差）值”充分接近；....】;.....。

與此相應，皮爾蓀“相關系數”的應用范圍也會有“類似”的限制：只是由于它只關心“序列”相對于“均值”“變化量”之間的“關系”，在某些方面的“限制”可能會相對松一點，譬如，對參與計算“相關系數”之“序列”的“完全代表性”就不必要求【由“序列”計算出的“平均值”與“序列”所屬“總體”的“均值”應高度一致】。相應的，其應用范圍是相對廣泛，這沒有異議。但它適應【你說的“攝氏溫度序列”與“華氏溫度序列”的“相關性”評價】則只是特例巧合，因為兩種溫標之間是相差一個常數后的(線性)比例關系，如果還有某個X溫標與攝氏溫標就是一種(線性)比例關系，那么“攝氏溫度序列”與“X溫度序列”之間形式上也能由第一個圖給出的“相關系數”評價“相關性”，只是，一般情況下，如此“相關性”評價是沒有“物理意義”的。

你給的第二個式子給出的是“序列相對于自身均值變化量的‘自相關系數’”，與【皮爾蓀“相關系數”】是含義對應的東西。

“互相關函數”及“歸一化的互相關函數”的“物理意義”很清晰，它表達的是：一個序列與另一個序列移序后呈（線性）比例關系的程度！所謂“函數”，是指它會隨“移序”量的多少而變化，“移序”量為零的“歸一化的互相關函數”就是你圖1給出的那個“相關系數”r，它表達的是：一個序列與另一個序列呈（線性）比例關系的程度！

類似的，“自相關函數”及“歸一化的自相關函數”的“物理意義”是：一個序列與其本身移序所得序列呈（線性）比例關系的程度！所謂“函數”，也是指它會隨“移序”量的多少而變化，“移序”量為零的“歸一化的自相關函數”就等于1：一個序列與自身當然呈（線性）比例關系！

njlyx 發表于 2015-11-19 10:00
多謝你的提醒！

你說的東西大致了解相關知識的人是應該知道的。

       用華氏或攝氏，物理意義或含義就不一樣了？  
       再說你知道你那公式要物理意義一樣才適用，而 不確定度評定經常要用于不同物理量之間的，    測速假設靠測距離和時間來定，評定時需知道距離和時間的相關性，怎么辦？  
         

thearchyhigh 發表于 2015-11-19 13:49
用華氏或攝氏，物理意義或含義就不一樣了？  
       再說你知道你那公式要物理意義一樣才適用， ...

上貼表述有些不周全，所謂“要有等價的物理含義”應該是由“量的合成式”做出具體要求：若是兩個量直接“求和”，就必須“量綱一致”； 若量前有了變換系數，再要求“量綱一致”就不妥了。如果并沒有說明“攝氏溫度”量與“華氏溫度”量要按什么方式“合成”，那上貼所述此點“限制”是不確切的，特此更正！

兩種“相關系數”對兩序列“物理意義”的要求是沒有本質區別的，只是一個關注“總量”之間是否呈（線性）比例關系？ 另一個關注“增量（相對于‘均值’的增量）”之間是否呈（線性）比例關系？   應用中具體要關注哪個，就用哪個“相關系數”——簡單說：如果關心“合成量”的“均方差”就應該用“皮爾蓀相關系數”；如果關心“合成量”的“均方值”就應該用另一個“相關系數”。