轉(zhuǎn)載：破碎的數(shù)

破　碎　的　數(shù)
在拉丁文裡，分?jǐn)?shù)一詞來(lái)源於frangere，是打破、斷裂的意思，因此分?jǐn)?shù)也曾被人叫做是“破碎數(shù)”。
在數(shù)的歷史上，分?jǐn)?shù)幾乎與自然數(shù)同樣古老，在各個(gè)民族最古老的文獻(xiàn)裡，都能找到有關(guān)分?jǐn)?shù)的記載，然而，分?jǐn)?shù)在數(shù)學(xué)中傳播並獲得自己的地位，卻用了幾千年的時(shí)間。
在歐洲，這些“破碎數(shù)”曾經(jīng)令人談虎色變，視為畏途。德國(guó)人形容某個(gè)人陷入困境時(shí)，還常常引用一句古老的諺語(yǔ)，說(shuō)他“掉進(jìn)分?jǐn)?shù)裡去了”。
我國(guó)現(xiàn)在尚能見(jiàn)到最早的一部數(shù)學(xué)著作，刻在漢朝初期的一批竹簡(jiǎn)上，名字叫《算數(shù)書(shū)》。它是1984年初在湖北省江陵縣出土的。在這本書(shū)裡，已經(jīng)對(duì)分?jǐn)?shù)運(yùn)算作了深入的研究。
稍晚些時(shí)侯，在我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》裡，已經(jīng)在世界上首次系統(tǒng)地研究了分?jǐn)?shù)。
例如：“又有九十一分之四十九，問(wèn)約之為幾何？”書(shū)中介紹的方法是：從91中減去49，得42；從49中減去42，得7；從42中連續(xù)減去7，到第5次時(shí)得7，這時(shí)被減數(shù)與減數(shù)相等，7就是最大的公約數(shù)。用7去約分子、分母，就得到了49/91的最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)7/13。不難看出，現(xiàn)在常用的輾轉(zhuǎn)相除法，正是由這種古老的方法演變而來(lái)。
公元263年，我國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽注釋《九章算術(shù)》時(shí)，又補(bǔ)充了一條法則：分?jǐn)?shù)除法就是將除數(shù)的分子、分母顛倒與被除數(shù)相乘。而歐洲直到1489年，才由維特曼提出相似的法則，已比劉徽晚了1200多年！
在人類(lèi)文化發(fā)展的初期，中國(guó)的數(shù)學(xué)遠(yuǎn)遠(yuǎn)領(lǐng)先於世界其他國(guó)家。
虛　偽　的　零　下
自然數(shù)都比零大。那麼，有沒(méi)有比零小的數(shù)呢？
有，這種數(shù)叫做“負(fù)數(shù)”。有了負(fù)數(shù)以後，不僅大數(shù)能減小數(shù)，小數(shù)也能減大數(shù)，減法運(yùn)算變得通行無(wú)阻了。
歷史上，人們對(duì)負(fù)數(shù)是不那麼服氣的，直到16世紀(jì)，歐洲大多數(shù)的數(shù)學(xué)家都還不承認(rèn)負(fù)數(shù)。德國(guó)數(shù)學(xué)家史提非大聲嚷叫：負(fù)數(shù)是“虛偽的零下”。
圍繞負(fù)數(shù)問(wèn)題，歐洲數(shù)學(xué)家爭(zhēng)論了很長(zhǎng)的時(shí)間，而在此之前的1000多年，印度數(shù)學(xué)家就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了負(fù)數(shù)。
公元625年，婆羅摩及多在印度最先提出了負(fù)數(shù)概念。他用“財(cái)產(chǎn)”表示正數(shù)，用“欠債”表示負(fù)數(shù)，並用它們來(lái)解釋正負(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算。他指出：兩種“財(cái)產(chǎn)”加起來(lái)還是“財(cái)產(chǎn)”，兩種“欠債”加起來(lái)還是“欠債”；零減去“財(cái)產(chǎn)”成為“欠債”，而減去“欠債”就變成了“財(cái)產(chǎn)”。
這段話的意思是：兩個(gè)正數(shù)的和是正數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)的和是負(fù)數(shù)；零減去正數(shù)得負(fù)數(shù)，而減去負(fù)數(shù)就等於加上了正數(shù)。
不過(guò)，世界上最先發(fā)現(xiàn)負(fù)數(shù)的人，並不是印度數(shù)學(xué)家。比婆羅摩及多早幾百年，我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》裡已明確指出：如果“賣(mài)”是正，則“買(mǎi)”就是負(fù)；如果“餘錢(qián)”是正，則“不足錢(qián)”就是負(fù)。在世界上先對(duì)負(fù)數(shù)概念作出了合理的解釋。
公元263年，我國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽注釋《九章算術(shù)》時(shí)進(jìn)一步明確指出：兩種得失相反的數(shù)，分別叫做正數(shù)和負(fù)數(shù)。
負(fù)數(shù)概念的產(chǎn)生，是世界科學(xué)中上一項(xiàng)重大的發(fā)現(xiàn)，也是我國(guó)人民對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展作出的一項(xiàng)重大貢獻(xiàn)。
文　明　的　標(biāo)　誌
圓，這是最簡(jiǎn)單而又最美麗的幾何圖形，也是人類(lèi)最早認(rèn)識(shí)的幾何圖形。然而，在這個(gè)人們最為熟悉的幾何圖形中，卻隱藏著一個(gè)神秘的數(shù)：圓周率π。
神　秘　的　兩　棲　物
著名數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)過(guò)：“數(shù)是數(shù)（shu）出來(lái)的，一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)（shu），因而出現(xiàn)了1，2，3，4，5……”其實(shí)，不僅是自然數(shù)，其他一些數(shù)的引入，也都與物體的度量有關(guān)。分?jǐn)?shù)的引入，與度量物體的細(xì)小部分有關(guān)；無(wú)理數(shù)的引入，與度量正方形對(duì)角線這類(lèi)長(zhǎng)度有關(guān)……
16世紀(jì)時(shí)，數(shù)學(xué)家們遇到了一種奇怪的數(shù)，這種數(shù)與物體的度量無(wú)關(guān)，而且在很長(zhǎng)的一段時(shí)間裡，誰(shuí)都沒(méi)能在生活中找到一樣事物，說(shuō)它需要用這種數(shù)來(lái)刻畫(huà)。
例如，義大利數(shù)學(xué)家卡當(dāng)就曾遇見(jiàn)過(guò)這種奇怪的數(shù)，有一次，他動(dòng)手解答一道很簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)題：“兩個(gè)數(shù)的和是10，積是40，問(wèn)這兩個(gè)數(shù)各是多少？”
卡當(dāng)設(shè)第一個(gè)數(shù)是x，由於兩個(gè)數(shù)的和是10，他將第二個(gè)數(shù)記作（10－x）；因?yàn)閮蓚€(gè)數(shù)的積是40，於是有x（10－x）＝40，即x2－10x＋40＝0。
這是一個(gè)一元二次方程，數(shù)學(xué)家們?cè)缇椭懒诉@類(lèi)方程的求根公式，只要把方程的係數(shù)1、－10、40代入公式裡，馬上就可以算出方程的兩個(gè)答案來(lái)，可是，當(dāng)卡當(dāng)把1、－10、40代入公式後，卻算出了兩個(gè)令人困惑不解的怪東西：5＋√(－15)和5－√(－15)。
卡當(dāng)想，既然√15“僅僅是些記號(hào)而已”，那麼，何嘗不把√(－15)也看作“是些記號(hào)而已”呢？他鼓足勇氣，“不管良心會(huì)受到多大的責(zé)備”，把那兩個(gè)怪東西當(dāng)作是兩個(gè)數(shù)，代入題中進(jìn)行了演算，瞧：
【5＋√(－15)】＋【5－√(－15)】＝10，
【5＋√(－15)】×【5－√(－15)】＝40，
這兩個(gè)怪東西正好是題目要求的數(shù)！
　　從這個(gè)意義上說(shuō)，這兩個(gè)怪東西應(yīng)該是一種數(shù)。可是，這是一種什麼樣的數(shù)呢？卡當(dāng)沒(méi)有弄清楚，17世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們也沒(méi)有弄清楚。他們覺(jué)得這種數(shù)不像其他的數(shù)那樣“實(shí)在”，有一種些虛無(wú)縹緲的味道，於是就起了個(gè)名字叫“虛數(shù)”。
　　18世紀(jì)下半葉，大數(shù)學(xué)家歐拉最先採(cǎi)用i這個(gè)記號(hào)來(lái)表示虛數(shù)單位。有了虛數(shù)之後，整個(gè)數(shù)系也就完備了。除了0不能作分母以外，任何兩個(gè)數(shù)都可以相加、相減、相乘、相除，以及乘方和開(kāi)方了。
百　錢(qián)　買(mǎi)　百　雞
相傳在南北朝時(shí)期（公元386－公元589），我國(guó)北方出了一個(gè)“神童”，他反應(yīng)敏捷，計(jì)算能力超群，許多連大人一時(shí)也難以解答的問(wèn)題，他一下子就給算出來(lái)了，遠(yuǎn)遠(yuǎn)近近的人都喜歡找他計(jì)算數(shù)學(xué)問(wèn)題。
“神童”的名氣越來(lái)越大，傳到了當(dāng)朝宰相的耳中，有一天，宰相為了弄清“神童”是真的還是假的，特地把“神童”的父親叫了去，給了他100文錢(qián)，讓他第二天帶100隻雞來(lái)。並規(guī)定100隻雞中公雞、母雞和小雞都要有，而且不準(zhǔn)多，也不準(zhǔn)少，一定要?jiǎng)偤檬前匐u百錢(qián)。
當(dāng)時(shí)，買(mǎi)１隻公雞5文錢(qián)，買(mǎi)1隻母雞3文錢(qián)，買(mǎi)3隻小雞才1文錢(qián)。怎麼才能湊成百雞百錢(qián)呢？“神童”想了一會(huì)，告訴父親說(shuō)，只要送4隻公雞、18隻母雞和78隻小雞去就行了。
第二天，宰相見(jiàn)到送來(lái)的雞正好滿(mǎn)足百雞百錢(qián)，大為驚奇。他想了一下，又給了100文錢(qián)，讓明天再送100隻雞來(lái)，還規(guī)定不準(zhǔn)只有4隻公雞。
這個(gè)問(wèn)題也沒(méi)有難住“神童”。他想了一會(huì)，叫父親送8隻公雞、11隻母雞和81隻小雞去。還告訴父親說(shuō)，遇到類(lèi)似的問(wèn)題，只要怎樣怎樣就行了。
第二天，宰相見(jiàn)到了送來(lái)的100隻雞，讚嘆不已，他又給了100文錢(qián)，要求下次再送100隻雞來(lái)。
豈料才一會(huì)兒，“神童”的父親就送來(lái)了100隻雞，宰相一數(shù)；公雞12隻、母雞4隻、小雞84隻，正好又滿(mǎn)足百雞百錢(qián)……
這個(gè)“神童”就是張丘建。他繼續(xù)勤奮學(xué)習(xí)，終於成為一個(gè)著名的數(shù)學(xué)家。他的名著《張丘建算經(jīng)》裡，最後一個(gè)題目就是這個(gè)有趣的“百雞問(wèn)題”。
“百雞問(wèn)題”是一個(gè)不定方程問(wèn)題。
如果設(shè)買(mǎi)公雞、母雞和小雞分別為x、y、z隻，依題意可得到方程組：
x＋y＋z＝100
5x＋3 y＋1/3z＝100
在張丘建生活的那個(gè)年代，人們還不會(huì)佈列不定方程組，那麼，他又是怎樣算出題目的幾個(gè)答案的呢？
原來(lái)，張丘建發(fā)現(xiàn)了一個(gè)秘密：4隻公雞值20文錢(qián)，3隻小雞值1文錢(qián)，合起來(lái)雞數(shù)是7，錢(qián)數(shù)是21；而7隻母雞呢，雞數(shù)是7，錢(qián)數(shù)也是21。如果少買(mǎi)7隻母雞，就可以用這筆錢(qián)多買(mǎi)4隻公雞和3隻小雞。這樣，百雞仍是百雞，百錢(qián)仍是百錢(qián)，所以，只要求出一個(gè)答案，根據(jù)這種法則，馬上就可以求出其他的答案。
這就是馳名中外的“百雞術(shù)”。