數據處理

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實驗數據處理基本方法
數據處理是指從獲得數據開始到得出最后結論的整個加工過程，包括數據記錄、整理、計算、分析和繪制圖表等。數據處理是實驗工作的重要內容，涉及的內容很多，這里僅介紹一些基本的數據處理方法。
1.5.1 列表法
對一個物理量進行多次測量或研究幾個量之間的關系時，往往借助于列表法把實驗數據列成表格。其優點是，使大量數據表達清晰醒目，條理化，易于檢查數據和發現問題，避免差錯，同時有助于反映出物理量之間的對應關系。所以，設計一個簡明醒目、合理美觀的數據表格，是每一個同學都要掌握的基本技能。
列表沒有統一的格式，但所設計的表格要能充分反映上述優點，應注意以下幾點：
1．        各欄目均應注明所記錄的物理量的名稱(符號)和單位；
2．        欄目的順序應充分注意數據間的聯系和計算順序，力求簡明、齊全、有條理；
3．        表中的原始測量數據應正確反映有效數字，數據不應隨便涂改，確實要修改數據時，應將原來數據畫條杠以備隨時查驗；
4．        對于函數關系的數據表格，應按自變量由小到大或由大到小的順序排列，以便于判斷和處理。
1.5.2 圖解法
圖線能夠直觀地表示實驗數據間的關系，找出物理規律，因此圖解法是數據處理的重要方法之一。圖解法處理數據，首先要畫出合乎規范的圖線，其要點如下：
1.選擇圖紙  作圖紙有直角坐標紙(即毫米方格紙)、對數坐標紙和極坐標紙等，根據作圖需要選擇。在物理實驗中比較常用的是毫米方格紙，其規格多為 。
2.曲線改直  由于直線最易描繪,且直線方程的兩個參數(斜率和截距)也較易算得。所以對于兩個變量之間的函數關系是非線性的情形，在用圖解法時應盡可能通過變量代換將非線性的函數曲線轉變為線性函數的直線。下面為幾種常用的變換方法。
(1) ( 為常數)。令 ，則 ，即 與 為線性關系。
(2) ( 為常數)。令 ，則 ，即 與 為線性關系。
(3) ( 和 為常數)。等式兩邊取對數得， 。于是， 與 為線性關系， 為斜率， 為截距。
(4) ( 和 為常數)。等式兩邊取自然對數得， 。于是， 與 為線性關系， 為斜率， 為截距。
3.確定坐標比例與標度  合理選擇坐標比例是作圖法的關鍵所在。作圖時通常以自變量作橫坐標( 軸)，因變量作縱坐標( 軸)。坐標軸確定后，用粗實線在坐標紙上描出坐標軸，并注明坐標軸所代表物理量的符號和單位。
坐標比例是指坐標軸上單位長度(通常為 )所代表的物理量大小。坐標比例的選取應注意以下幾點：
(1)原則上做到數據中的可靠數字在圖上應是可靠的，即坐標軸上的最小分度( )對應于實驗數據的最后一位準確數字。坐標比例選得過大會損害數據的準確度。
(2)坐標比例的選取應以便于讀數為原則，常用的比例為“1∶1”、“1∶2”、“1∶5”(包括“1∶0.1”、“1∶10”…)，即每厘米代表“1、2、5”倍率單位的物理量。切勿采用復雜的比例關系，如“1∶3”、“1∶7”、“1∶9”等。這樣不但不易繪圖，而且讀數困難。
坐標比例確定后，應對坐標軸進行標度，即在坐標軸上均勻地(一般每隔 )標出所代表物理量的整齊數值，標記所用的有效數字位數應與實驗數據的有效數字位數相同。標度不一定從零開始，一般用小于實驗數據最小值的某一數作為坐標軸的起始點，用大于實驗數據最大值的某一數作為終點，這樣圖紙可以被充分利用。
4.數據點的標出  實驗數據點在圖紙上用“+”符號標出，符號的交叉點正是數據點的位置。若在同一張圖上作幾條實驗曲線，各條曲線的實驗數據點應該用不同符號(如×、⊙等)標出，以示區別。
5.曲線的描繪  由實驗數據點描繪出平滑的實驗曲線，連線要用透明直尺或三角板、曲線板等擬合。根據隨機誤差理論，實驗數據應均勻分布在曲線兩側，與曲線的距離盡可能小。個別偏離曲線較遠的點，應檢查標點是否錯誤，若無誤表明該點可能是錯誤數據，在連線時不予考慮。對于儀器儀表的校準曲線和定標曲線，連接時應將相鄰的兩點連成直線，整個曲線呈折線形狀。
6.注解與說明  在圖紙上要寫明圖線的名稱、坐標比例及必要的說明(主要指實驗條件)，并在恰當地方注明作者姓名、日期等。
7.直線圖解法求待定常數  直線圖解法首先是求出斜率和截距，進而得出完整的線性方程。其步驟如下：
(1)選點。在直線上緊靠實驗數據兩個端點內側取兩點 、 ），并用不同于實驗數據的符號標明，在符號旁邊注明其坐標值(注意有效數字)。若選取的兩點距離較近，計算斜率時會減少有效數字的位數。這兩點既不能在實驗數據范圍以外取點，因為它已無實驗根據，也不能直接使用原始測量數據點計算斜率。
(2)求斜率。設直線方程為 ，則斜率為
                            (1-5-1)
(3)求截距。截距的計算公式為
                            (1-5-2)
【例7】金屬電阻與溫度的關系可近似表示為 ， 為 ℃時的電阻， 為電阻的溫度系數。實驗數據見下表，試用圖解法建立電阻與溫度關系的經驗公式。

1        2        3        4        5        6        7
/℃
10.5        26.0        38.3        51.0        62.8        75.5        85.7

10.423        10.892        11.201        11.586        12.025        12.344        12.679
圖1-5-1 銅絲電阻與溫度關系曲線
【解】溫度 起點 ，電阻 起點 。比例測算， 軸： ，故取為 ； 軸： ，故取為 。對照比例選擇原則知，選取的比例滿足要求。所繪圖線見圖1-5-1。
在圖線上取兩點 和 ，斜率和截距計算如下：
所以，銅絲電阻與溫度的關系為

1.5.3 逐差法
當兩個變量之間存在線性關系，且自變量為等差級數變化的情況下，用逐差法處理數據，既能充分利用實驗數據，又具有減小誤差的效果。具體做法是將測量得到的偶數組數據分成前后兩組，將對應項分別相減，然后再求平均值。
例如，在彈性限度內，彈簧的伸長量 與所受的載荷(拉力) 滿足線性關系

實驗時等差地改變載荷，測得一組實驗數據如下表：
砝碼質量/Kg        1.000        2.000        3.000        4.000        5.000        6.000        7.000        8.000
彈簧伸長位置/cm
求每增加1Kg砝碼彈簧的平均伸長量 。
若不加思考進行逐項相減，很自然會采用下列公式計算

結果發現除 和 外，其它中間測量值都未用上，它與一次增加7個砝碼的單次測量等價。若用多項間隔逐差，即將上述數據分成前后兩組，前一組 ，后一組 ，然后對應項相減求平均，即

這樣全部測量數據都用上，保持了多次測量的優點，減少了隨機誤差，計算結果比前面的要準確些。逐差法計算簡便，特別是在檢查具有線性關系的數據時，可隨時“逐差驗證”，及時發現數據規律或錯誤數據。
1.5.4 最小二乘法
由一組實驗數據擬合出一條最佳直線，常用的方法是最小二乘法。設物理量 和 之間的滿足線性關系，則函數形式為

最小二乘法就是要用實驗數據來確定方程中的待定常數 和 ，即直線的斜率和截距。
圖1-5-2   的測量偏差
我們討論最簡單的情況，即每個測量值都是等精度的，且假定 和 值中只有 有明顯的測量隨機誤差。如果 和 均有誤差，只要把誤差相對較小的變量作為 即可。由實驗測量得到一組數據為 ，其中 時對應的 。由于測量總是有誤差的，我們將這些誤差歸結為 的測量偏差，并記為 ， ，…， ，見圖1-5-2。這樣，將實驗數據 代入方程 后，得到

我們要利用上述的方程組來確定 和 ，那么 和 要滿足什么要求呢？顯然，比較合理的 和 是使 ， ，…， 數值上都比較小。但是，每次測量的誤差不會相同，反映在 ， ，…， 大小不一，而且符號也不盡相同。所以只能要求總的偏差最小，即

令                        
使 為最小的條件是
， ， ，
由一階微商為零得

解得                                        (1-5-3)
                      (1-5-4)
令 ， ， ， ， ，則
                            (1-5-5)
                           (1-5-6)
如果實驗是在已知 和 滿足線性關系下進行的，那么用上述最小二乘法線性擬合(又稱一元線性回歸)可解得斜率 和截距 ,從而得出回歸方程 。如果實驗是要通過對 、 的測量來尋找經驗公式，則還應判斷由上述一元線性擬合所確定的線性回歸方程是否恰當。這可用下列相關系數 來判別
                     (1-5-7)
其中 ， 。
圖1-5-3  相關系數與線性關系長
可以證明， 值總是在 和 之間。 值越接近 ，說明實驗數據點密集地分布在所擬合的直線的近旁，用線性函數進行回歸是合適的。 表示變量 、 完全線性相關，擬合直線通過全部實驗數據點。 值越小線性越差，一般 時可認為兩個物理量之間存在較密切的線性關系，此時用最小二乘法直線擬合才有實際意義，見圖1-5-3。

(摘自南航大)

[ 本帖最后由 lzl_1972 于 2007-8-4 09:39 編輯 ]

內容很好，圖呢?完整一些就好了。