本帖最后由 史錦順 于 2015-10-27 16:14 編輯
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再論交叉因子
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史錦順
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統(tǒng)計理論的相關(guān)系數(shù)，可以用于對隨機誤差的分析，但不能用來分析有系統(tǒng)誤差存在的情況。而任何測量儀器，都是存在系統(tǒng)誤差的，并且大多數(shù)測量儀器的誤差范圍是以系統(tǒng)誤差為主的。因此，對誤差合成的分析，不能完全靠統(tǒng)計理論。
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測量計量理論中有測得值，還有真值。誤差元等于測得值減真值。
統(tǒng)計學(xué)中的統(tǒng)計變量，各個是真值，沒有測得值與真值的差別。對統(tǒng)計測量來說，測得值等于真值，測得值（也就是真值）對應(yīng)統(tǒng)計理論的隨機變量。隨機變量不能區(qū)分測得值與真值，因此，統(tǒng)計理論的某些結(jié)論，不能用于誤差分析。用則出現(xiàn)誤導(dǎo)。
統(tǒng)計理論中的相關(guān)系數(shù)，對隨機誤差分析，可以。
統(tǒng)計理論中的相關(guān)系數(shù)，對系統(tǒng)誤差分析，不行。
現(xiàn)在不確定度理論引用的統(tǒng)計理論的相關(guān)系數(shù)公式，分子的基本單元是殘差（測得值減平均值），對系統(tǒng)誤差來說，此基本單元為零。就是說，統(tǒng)計學(xué)的相關(guān)系數(shù)公式對系統(tǒng)誤差的靈敏系數(shù)為零。就是說，系統(tǒng)誤差之間有多大的相關(guān)性，相關(guān)系數(shù)也是零。
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統(tǒng)計理論中，常量的方差為零。
測量學(xué)中，測得值可能是常值，即隨機誤差可略；但有系統(tǒng)誤差。
嚴格地說，測量既有系統(tǒng)誤差也有隨機誤差。二者比重可能不同。當(dāng)一個很大，而另一個很小時，這時就可以忽略很小的那個誤差，而只說很大的的那個誤差。因為二者是“方和根法”合成，故二者的比例是1/3時，忽略的誤差為1/18（5.4%）。
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當(dāng)只有系統(tǒng)誤差時，測得值在重復(fù)測量中不變，測得值是常值。此時系統(tǒng)誤差為常值。例如某種電子秤，誤差范圍為5克，而隨機誤差小于0.5克，稱重的測得值是一個常值。這是常見的情況。統(tǒng)計理論就描述不了這件事。
在東市，用國產(chǎn)電子秤（誤差范圍是5克，分辨力1克），稱大米1000克。稱5次，示值都是1000克。
表達為：
W東= 1000克 ±5克
在西市，用日本產(chǎn)電子秤（誤差范圍是5克，分辨力誤差1克），稱大米1000克。稱5次，示值都是1000克。
表達為：
W西= 1000克 ±5克
回家后，東西市稱的大米放在一起。怎樣表達大米的總重量和誤差范圍？
第一種，經(jīng)典誤差理論。
東西市稱大米，都是只知道誤差范圍。示值不變，可見為未定系統(tǒng)誤差。誤差合成取“絕對和法”。合成誤差范圍是10克。
W1 = 2000克±10克
第二種，不確定度論（包括1980年后的一些誤差理論書籍）
東市用中國秤，西市用日本秤，二者不相關(guān)，取“方和根法”。合成誤差范圍是7克。
W1 = 2000克±7克
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哪種表達對呢？
考慮各種可能。用不確定度評定的觀點，儀器誤差可設(shè)為均勻分布。
易見，經(jīng)典誤差理論的表達是“上限”表達，對可能有的情況都成立。包含概率是99%。
不確定度論的“均方根法”包含概率約為71%；錯誤概率29%.
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有人說：誤差理論就是用統(tǒng)計理論處理誤差問題。這話不準(zhǔn)確。在歷史上，是先有誤差理論，后又統(tǒng)計理論。著名的貝塞爾公式，是十九世紀(jì)初，貝塞爾為解決天體觀測數(shù)據(jù)的誤差問題而提出來的。不久后興起的統(tǒng)計理論，移殖了貝塞爾公式，只是把原來的真值，變成數(shù)學(xué)期望。須知，測量的參考值是真值，因此，研究測量問題，不能照搬統(tǒng)計理論。隨機誤差研究可以用統(tǒng)計理論；但對系統(tǒng)誤差的研究，用統(tǒng)計理論就會出錯。《JJF1059.1-2012》的三條判斷出錯，正是忽略了系統(tǒng)誤差同一般統(tǒng)計變量的不同。系統(tǒng)誤差不能以其平均值為參考，而必須以真值為參考。一般的測量場合，沒有真值，無法實測系統(tǒng)誤差之值，在計量場合有計量標(biāo)準(zhǔn)，有相對真值，可視為真值，便可以實測系統(tǒng)誤差，研究其特性，認識其規(guī)律。
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下面是修改后的《論交叉因子》，其中有系統(tǒng)誤差合成時的交叉因子公式的推導(dǎo)。結(jié)論是，對系統(tǒng)誤差來說，“方和根法”回歸為“絕對和法”。
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論交叉因子（修改稿）
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1 理論基礎(chǔ)
函數(shù)的改變量，等于函數(shù)對各個自變量偏微分的和。就是泰勒展開的一級近似。
f(x,y) = f(xo,yo)+ (?f/?x) (x-xo)+ (?f/?y) (y-yo) （1）
f(x,y) - f(xo,yo) =(?f/?x) Δx+ (?f/?y) Δy （2）
Δf =(?f/?x)Δx + (?f/?y)Δy （3）
公式（3）是偏差關(guān)系的普遍形式。對所研究的特定函數(shù)來說，?f/?x、?f/?y是常數(shù)。
偏差關(guān)系用于測量計量領(lǐng)域，x是測得值，xo是真值, Δx是測得值x的誤差元；y是測得值，yo是真值，Δy是測得值y的誤差元；f(x,y)是求得的函數(shù)值， f(xo,yo) 是函數(shù)的真值，Δf= f(x,y)-f(xo,yo) 是求得的函數(shù)值的誤差元。
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2 交叉因子的一般表達
設(shè)函數(shù)的誤差由兩項誤差Δx、Δy引起。由此，函數(shù)的兩項誤差元為：
Δf(x) = (?f/?x) Δx
Δf(y) = (?f/?y) Δy
把分項誤差作用的靈敏系數(shù)與該項誤差歸并，記為：
Δf(x) =ΔX
Δf(y) = ΔY
函數(shù)的誤差元式（3）變?yōu)椋?br />
Δf=ΔX +ΔY （4）
對（4）式兩邊平方并求和、平均：
(1/N)∑Δf^2=(1/N)∑(ΔX +ΔY)^2
=(1/N)∑ΔX^2 + 2(1/N)∑ΔXΔY+(1/N)∑ΔY^2 （5）
（5）式右邊的第一項為σ(X)^2，第三項為σ(Y)^2; （5）式的第二項是交叉項，是我們研究的重點對象。第二項為
2(1/N)∑ΔXΔY =2【(1/N)(∑ΔXΔY) / {√[(1/N)∑ΔX^2]√[(1/N)∑ΔY^2]}】×
{√[(1/N)∑ΔX^2]√[(1/N)∑ΔY^2]}
= 2J√[(1/N)∑ΔX^2]√[(1/N)∑ΔY^2] （6）
（6）式中的J為：
J =(1/N)(∑ΔXΔY) / {√[(1/N)∑ΔX^2] √[(1/N)∑ΔY^2]} （7）
稱 J 為交叉因子。
（注：J在此前記為r，稱為相關(guān)系數(shù)。這和統(tǒng)計理論的相關(guān)系數(shù)，物理意義不一致。為澄清已有的混淆，本文稱J為交叉因子。）
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3 隨機誤差間合成的交叉因子
記隨機誤差元為 ξ，系統(tǒng)誤差元為 β。
對隨機誤差的合成，ΔX是ξx, 代換為[X-X(平)]；ΔY是ξy，代換為[Y-Y(平)]，有：
J =[1/(N-1)][∑[X-X(平)][(Y-Y(平))] / [σ(X) σ(Y)] （8）
由于ξx、ξy是隨機誤差，可正可負，可大可小，有對稱性與有界性，多次測量，是大量的，因此，隨機誤差間的合成的交叉因子為零（或可以忽略）。（8）式是當(dāng)前不確定度引用統(tǒng)計理論的相關(guān)系數(shù)公式。
隨機誤差合成，“方和根法”成立有
σ(f) =√[σ(X)^2+ σ(Y)^2] （9）
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4 隨機誤差與系統(tǒng)誤差合成的交叉因子
兩個分項誤差，一個是隨機的，記為ξ；一個是系統(tǒng)的（重復(fù)測量中不變），記為β。 代入公式（7），有
J =(1/N)(∑ξiβ) /{√[(1/N)∑ΔX^2]√[(1/N)∑ΔY^2]} （10）
系統(tǒng)誤差元是常數(shù)可以提出來，有
J =(1/N) (β∑ξi) / {√[(1/N)∑ΔX^2]√[(1/N)∑ΔY^2]} （11）
精密測量，要進行多次重復(fù)測量取平均值，ξi相當(dāng)于殘差，殘差之和為零。因此精密測量時，隨機誤差與系統(tǒng)誤差的交叉因子可以忽略，因此，“方和根法”成立。
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5 系統(tǒng)誤差與系統(tǒng)誤差合成的交叉因子
設(shè)（7）式中ΔX為系統(tǒng)誤差βx ，ΔY為系統(tǒng)誤差βy，有
√[(1/N)∑ΔX^2]= |βx| （12）
√[(1/N)∑ΔY^2]= |βy| （13）
則系統(tǒng)誤差的交叉因子為
J =(1/N)(∑βxβy) / [|βx| |βy|] （14）
=(1/N) (∑βxβy) / [ |βx| |βy| ]
=±1
即有
|J|=1 （15）
當(dāng)βxβy同號時，系統(tǒng)誤差的交叉因子為+1；當(dāng)βxβy異號時，系統(tǒng)誤差的交叉因子為-1.
當(dāng)系統(tǒng)誤差的交叉因子為+1時，（5）式為：
| Δf | =|βx^2|+2|βx||βy| +|βy|^2
即有
| Δf | =|βx|+|βy| （16）
（16）式就是絕對值合成公式。
當(dāng)系統(tǒng)誤差的交叉因子為-1時，（16）式變?yōu)槎坎畹墓健Ｒ驗橥ǔＶ皇侵老到y(tǒng)誤差之誤差范圍，又鑒于誤差量“上限性”的特點，二量差的公式不能用。
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6 關(guān)于合成方法的主張
通常，測量儀器以系統(tǒng)誤差為主。不能無視系統(tǒng)誤差的存在。考慮到系統(tǒng)誤差、隨機誤差都是客觀存在，提出如下主張：
（1） 隨機誤差內(nèi)部，隨機誤差之間，用“方和根法”；
（2） 隨機誤差范圍與系統(tǒng)誤差范圍之間，用“方和根法”；
（3） 在兩項或三項大系統(tǒng)誤差之間用“絕對合法”
（4） 如果有多項中小系統(tǒng)誤差項，他們之間的交叉系數(shù)，可能是+1，也可能是-1，有相互抵消、或部分抵消的作用，這樣，可以用“方和根法”（也可以用“絕對和法”）。
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綜上所述，系統(tǒng)誤差在“方和根法”合成時，交叉項中的交叉因子是+1（相關(guān)系數(shù)為-1的解不能用）；這樣，“方和根法”，就回歸為“絕對和法”。
測量儀器的誤差，通常以系統(tǒng)誤差為主。在有系統(tǒng)誤差存在，特別是以系統(tǒng)誤差為主的通常情況下，交叉項中的誤差項，不是弱相關(guān)而是強相關(guān)（借用常用說法）。這樣，不確定度評定的通常的假設(shè)條件“不相關(guān)”，實質(zhì)不是說相關(guān)性問題，而是說交叉因子近似為零，交叉項可以忽略，這通常是不成立的。就是說，不確定度評定的“方和根法”是沒道理的。不確定度理論有五大難題：分布規(guī)律、不相關(guān)假設(shè)、變系統(tǒng)為隨機、范圍到方差的往返折騰、求自由度，都是自找麻煩，并無必要；不僅不必要，由于忽略交叉項，不合理地縮小誤差范圍，違背誤差量的上限性特點，成為工程的隱患。
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須知，不確定度論的五大難題都是為一個目標(biāo)，那就是推行“方和根法”。
測量儀器通常以系統(tǒng)誤差為主。在以系統(tǒng)誤差為主的通常情況下，“方和根法”是不成立的。“方和根法”這一目標(biāo)既然被否定，那五大難題也就不存在了。難道這不是皆大歡喜的好事嗎？
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1980年啟動、1993年正式推廣的不確定度論（包括1980年后的一些誤差理論書籍），把系統(tǒng)誤差區(qū)分為已定系統(tǒng)誤差和未定系統(tǒng)誤差。說未定系統(tǒng)誤差，與隨機誤差有大致相同的性質(zhì)，于是可按隨機誤差的處理辦法處理未定系統(tǒng)誤差。又說，已定系統(tǒng)誤差已修正，于是儀器的誤差，包括隨機誤差與未定系統(tǒng)誤差，都可以按“方和根法”處理，就是可以忽略交叉項。
這種混淆隨機誤差與系統(tǒng)誤差性質(zhì)的認識是不對的；以系統(tǒng)誤差為主的儀器誤差，按“方和根法”合成是錯誤的。系統(tǒng)誤差是客觀存在。否定客觀，否定客觀規(guī)律，必然受到懲罰。談?wù)摻徊骓椏珊雎缘摹安幌嚓P(guān)假設(shè)”以及“方和根法”對以系統(tǒng)誤差為主場合的濫用，都是不確定度論破綻的暴露。
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著眼于“相關(guān)不相關(guān)”，是說不清交叉項是否可略的問題的。考察的對象必須是交叉因子，而不是相關(guān)系性。《JJF1059.1-2012》，本來目的是說協(xié)方差（就是交叉項）可忽略的問題。三條都扯到“不相關(guān)”的問題上，于是，也就三條全錯了。因為“不相關(guān)”與忽略協(xié)方差是兩回事。忽略協(xié)方差等同于忽略交叉因子，卻不同于忽略相關(guān)系數(shù)。因此，這三條是誤導(dǎo)。
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