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計量論壇

標題: 數(shù)據(jù)處理 [打印本頁]

作者: szcatciliu 時間: 2007-8-3 17:57
標題: 數(shù)據(jù)處理
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作者: szcatciliu 時間: 2007-8-3 18:02
實驗數(shù)據(jù)處理基本方法
數(shù)據(jù)處理是指從獲得數(shù)據(jù)開始到得出最后結論的整個加工過程，包括數(shù)據(jù)記錄、整理、計算、分析和繪制圖表等。數(shù)據(jù)處理是實驗工作的重要內容，涉及的內容很多，這里僅介紹一些基本的數(shù)據(jù)處理方法。
1.5.1 列表法
對一個物理量進行多次測量或研究幾個量之間的關系時，往往借助于列表法把實驗數(shù)據(jù)列成表格。其優(yōu)點是，使大量數(shù)據(jù)表達清晰醒目，條理化，易于檢查數(shù)據(jù)和發(fā)現(xiàn)問題，避免差錯，同時有助于反映出物理量之間的對應關系。所以，設計一個簡明醒目、合理美觀的數(shù)據(jù)表格，是每一個同學都要掌握的基本技能。
列表沒有統(tǒng)一的格式，但所設計的表格要能充分反映上述優(yōu)點，應注意以下幾點：
1．各欄目均應注明所記錄的物理量的名稱(符號)和單位；
2．欄目的順序應充分注意數(shù)據(jù)間的聯(lián)系和計算順序，力求簡明、齊全、有條理；
3．表中的原始測量數(shù)據(jù)應正確反映有效數(shù)字，數(shù)據(jù)不應隨便涂改，確實要修改數(shù)據(jù)時，應將原來數(shù)據(jù)畫條杠以備隨時查驗；
4．對于函數(shù)關系的數(shù)據(jù)表格，應按自變量由小到大或由大到小的順序排列，以便于判斷和處理。
1.5.2 圖解法
圖線能夠直觀地表示實驗數(shù)據(jù)間的關系，找出物理規(guī)律，因此圖解法是數(shù)據(jù)處理的重要方法之一。圖解法處理數(shù)據(jù)，首先要畫出合乎規(guī)范的圖線，其要點如下：
1.選擇圖紙  作圖紙有直角坐標紙(即毫米方格紙)、對數(shù)坐標紙和極坐標紙等，根據(jù)作圖需要選擇。在物理實驗中比較常用的是毫米方格紙，其規(guī)格多為。
2.曲線改直  由于直線最易描繪,且直線方程的兩個參數(shù)(斜率和截距)也較易算得。所以對于兩個變量之間的函數(shù)關系是非線性的情形，在用圖解法時應盡可能通過變量代換將非線性的函數(shù)曲線轉變?yōu)榫€性函數(shù)的直線。下面為幾種常用的變換方法。
(1) ( 為常數(shù))。令，則，即與為線性關系。
(2) ( 為常數(shù))。令，則，即與為線性關系。
(3) ( 和為常數(shù))。等式兩邊取對數(shù)得，。于是，與為線性關系，為斜率，為截距。
(4) ( 和為常數(shù))。等式兩邊取自然對數(shù)得，。于是，與為線性關系，為斜率，為截距。
3.確定坐標比例與標度  合理選擇坐標比例是作圖法的關鍵所在。作圖時通常以自變量作橫坐標( 軸)，因變量作縱坐標( 軸)。坐標軸確定后，用粗實線在坐標紙上描出坐標軸，并注明坐標軸所代表物理量的符號和單位。
坐標比例是指坐標軸上單位長度(通常為 )所代表的物理量大小。坐標比例的選取應注意以下幾點：
(1)原則上做到數(shù)據(jù)中的可靠數(shù)字在圖上應是可靠的，即坐標軸上的最小分度( )對應于實驗數(shù)據(jù)的最后一位準確數(shù)字。坐標比例選得過大會損害數(shù)據(jù)的準確度。
(2)坐標比例的選取應以便于讀數(shù)為原則，常用的比例為“1∶1”、“1∶2”、“1∶5”(包括“1∶0.1”、“1∶10”…)，即每厘米代表“1、2、5”倍率單位的物理量。切勿采用復雜的比例關系，如“1∶3”、“1∶7”、“1∶9”等。這樣不但不易繪圖，而且讀數(shù)困難。
坐標比例確定后，應對坐標軸進行標度，即在坐標軸上均勻地(一般每隔 )標出所代表物理量的整齊數(shù)值，標記所用的有效數(shù)字位數(shù)應與實驗數(shù)據(jù)的有效數(shù)字位數(shù)相同。標度不一定從零開始，一般用小于實驗數(shù)據(jù)最小值的某一數(shù)作為坐標軸的起始點，用大于實驗數(shù)據(jù)最大值的某一數(shù)作為終點，這樣圖紙可以被充分利用。
4.數(shù)據(jù)點的標出  實驗數(shù)據(jù)點在圖紙上用“+”符號標出，符號的交叉點正是數(shù)據(jù)點的位置。若在同一張圖上作幾條實驗曲線，各條曲線的實驗數(shù)據(jù)點應該用不同符號(如×、⊙等)標出，以示區(qū)別。
5.曲線的描繪  由實驗數(shù)據(jù)點描繪出平滑的實驗曲線，連線要用透明直尺或三角板、曲線板等擬合。根據(jù)隨機誤差理論，實驗數(shù)據(jù)應均勻分布在曲線兩側，與曲線的距離盡可能小。個別偏離曲線較遠的點，應檢查標點是否錯誤，若無誤表明該點可能是錯誤數(shù)據(jù)，在連線時不予考慮。對于儀器儀表的校準曲線和定標曲線，連接時應將相鄰的兩點連成直線，整個曲線呈折線形狀。
6.注解與說明  在圖紙上要寫明圖線的名稱、坐標比例及必要的說明(主要指實驗條件)，并在恰當?shù)胤阶⒚髯髡咝彰?、日期等?br /> 7.直線圖解法求待定常數(shù)  直線圖解法首先是求出斜率和截距，進而得出完整的線性方程。其步驟如下：
(1)選點。在直線上緊靠實驗數(shù)據(jù)兩個端點內側取兩點、），并用不同于實驗數(shù)據(jù)的符號標明，在符號旁邊注明其坐標值(注意有效數(shù)字)。若選取的兩點距離較近，計算斜率時會減少有效數(shù)字的位數(shù)。這兩點既不能在實驗數(shù)據(jù)范圍以外取點，因為它已無實驗根據(jù)，也不能直接使用原始測量數(shù)據(jù)點計算斜率。
(2)求斜率。設直線方程為，則斜率為
                        (1-5-1)
(3)求截距。截距的計算公式為
                        (1-5-2)
【例7】金屬電阻與溫度的關系可近似表示為，為 ℃時的電阻，為電阻的溫度系數(shù)。實驗數(shù)據(jù)見下表，試用圖解法建立電阻與溫度關系的經(jīng)驗公式。

1 2 3 4 5 6 7
/℃
10.5 26.0 38.3 51.0 62.8 75.5 85.7

10.423 10.892 11.201 11.586 12.025 12.344 12.679
圖1-5-1 銅絲電阻與溫度關系曲線
【解】溫度起點，電阻起點。比例測算，軸：，故取為；軸：，故取為。對照比例選擇原則知，選取的比例滿足要求。所繪圖線見圖1-5-1。
在圖線上取兩點和，斜率和截距計算如下：
所以，銅絲電阻與溫度的關系為

1.5.3 逐差法
當兩個變量之間存在線性關系，且自變量為等差級數(shù)變化的情況下，用逐差法處理數(shù)據(jù)，既能充分利用實驗數(shù)據(jù)，又具有減小誤差的效果。具體做法是將測量得到的偶數(shù)組數(shù)據(jù)分成前后兩組，將對應項分別相減，然后再求平均值。
例如，在彈性限度內，彈簧的伸長量與所受的載荷(拉力) 滿足線性關系

實驗時等差地改變載荷，測得一組實驗數(shù)據(jù)如下表：
砝碼質量/Kg 1.000 2.000 3.000 4.000 5.000 6.000 7.000 8.000
彈簧伸長位置/cm
求每增加1Kg砝碼彈簧的平均伸長量。
若不加思考進行逐項相減，很自然會采用下列公式計算

結果發(fā)現(xiàn)除和外，其它中間測量值都未用上，它與一次增加7個砝碼的單次測量等價。若用多項間隔逐差，即將上述數(shù)據(jù)分成前后兩組，前一組，后一組，然后對應項相減求平均，即

這樣全部測量數(shù)據(jù)都用上，保持了多次測量的優(yōu)點，減少了隨機誤差，計算結果比前面的要準確些。逐差法計算簡便，特別是在檢查具有線性關系的數(shù)據(jù)時，可隨時“逐差驗證”，及時發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)規(guī)律或錯誤數(shù)據(jù)。
1.5.4 最小二乘法
由一組實驗數(shù)據(jù)擬合出一條最佳直線，常用的方法是最小二乘法。設物理量和之間的滿足線性關系，則函數(shù)形式為

最小二乘法就是要用實驗數(shù)據(jù)來確定方程中的待定常數(shù) 和，即直線的斜率和截距。
圖1-5-2 的測量偏差
我們討論最簡單的情況，即每個測量值都是等精度的，且假定和值中只有有明顯的測量隨機誤差。如果和均有誤差，只要把誤差相對較小的變量作為即可。由實驗測量得到一組數(shù)據(jù)為，其中時對應的。由于測量總是有誤差的，我們將這些誤差歸結為的測量偏差，并記為，，…，，見圖1-5-2。這樣，將實驗數(shù)據(jù) 代入方程后，得到

我們要利用上述的方程組來確定和，那么和要滿足什么要求呢？顯然，比較合理的和是使，，…，數(shù)值上都比較小。但是，每次測量的誤差不會相同，反映在，，…，大小不一，而且符號也不盡相同。所以只能要求總的偏差最小，即

令
使為最小的條件是
，，，
由一階微商為零得

解得                                     (1-5-3)
                  (1-5-4)
令，，，，，則
                        (1-5-5)
                        (1-5-6)
如果實驗是在已知和滿足線性關系下進行的，那么用上述最小二乘法線性擬合(又稱一元線性回歸)可解得斜率和截距 ,從而得出回歸方程。如果實驗是要通過對、的測量來尋找經(jīng)驗公式，則還應判斷由上述一元線性擬合所確定的線性回歸方程是否恰當。這可用下列相關系數(shù) 來判別
                  (1-5-7)
其中，。
圖1-5-3  相關系數(shù)與線性關系長
可以證明，值總是在和之間。值越接近，說明實驗數(shù)據(jù)點密集地分布在所擬合的直線的近旁，用線性函數(shù)進行回歸是合適的。表示變量、完全線性相關，擬合直線通過全部實驗數(shù)據(jù)點。值越小線性越差，一般時可認為兩個物理量之間存在較密切的線性關系，此時用最小二乘法直線擬合才有實際意義，見圖1-5-3。

(摘自南航大)

[ 本帖最后由 lzl_1972 于 2007-8-4 09:39 編輯 ]

作者: zzdulin 時間: 2007-8-4 00:44
標題: 回復 #2 szcatciliu 的帖子
內容很好，圖呢?完整一些就好了。

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